Question

14．設函數f（x）=x²e^-x，g（x）=xlnx．
（1）若F（x）=f（x）-g（x），證明：F（x）在（0，+∞）上存在唯一零點；
（2）設函數h（x）=min{f（x），g（x）}，（min{a，b}表示a，b中的較小值），若h（x）≤λ，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）證明F（x）在（0，+∞）上存在零點且單調．
（2）由（1）得，F（x）在（1，2）上存在唯一零點x₀，x∈（0，x₀）時，f（x）＞g（x）；x∈（x₀，+∞）時，f（x）＜g（x），可得$h（x）=\left\{\begin{array}{l}xlnx，x∈（{0，{x_0}}）\\{x^2}{e^{-x}}，x∈[{{x_0}，+∞}）\end{array}\right.$．通過分類討論方法利用導數研究函數的單調性即可得出．

解答 （1）證明：函數F（x）的定義域為（0，+∞），因為F（x）=x²e^-x-xlnx，
當0＜x≤1時，F（x）＞0，而$F（2）=\frac{4}{e^2}-2ln2＜0$，所以F（x）在（1，2）存在零點．
因為$F'（x）=\frac{{x（{2-x}）}}{e^x}-（{lnx+1}）=\frac{{-{{（{x-1}）}^2}+1}}{e^x}-（{lnx+1}）$，
當x＞1時，$\frac{{-{{（{x-1}）}^2}+1}}{e^x}≤\frac{1}{e^x}＜\frac{1}{e}，-（{lnx+1}）＜-1$，
所以$F'（x）＜\frac{1}{e}-1＜0$，則F（x）在（1，+∞）上單調遞減，
所以F（x）在（0，+∞）上存在唯一零點．
（2）解：由（1）得，F（x）在（1，2）上存在唯一零點x₀，
x∈（0，x₀）時，f（x）＞g（x）；x∈（x₀，+∞）時，f（x）＜g（x），
∴$h（x）=\left\{\begin{array}{l}xlnx，x∈（{0，{x_0}}）\\{x^2}{e^{-x}}，x∈[{{x_0}，+∞}）\end{array}\right.$．
當x∈（0，x₀）時，由于x∈（0，1]，h（x）≤0；
x∈（1，x₀）時，h'（x）=lnx+1＞0，于是h（x）在（1，x₀）單調遞增，則0＜h（x）＜h（x₀），
所以當0＜x＜x₀時，h（x）＜h（x₀）．
當x∈[x₀，+∞）時，因為h'（x）=x（2-x）e^-x，x∈[x₀，2]時，h'（x）≥0，則h（x）在[x₀，2]單調遞增；
x∈（2，+∞）時，h'（x）＜0，則h（x）在（2，+∞）單調遞減，
于是當x≥x₀時，h（x）≤h（2）=4e^-2，
所以函數h（x）的最大值為h（2）=4e^-2，所以λ的取值范圍為[4e^-2，+∞）．

點評 本題考查了函數零點存在大量、分類討論方法、利用導數研究函數的單調性極值與最值、不等式的解法與性質，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．