Question

17．設(shè)函數(shù)f（x）=a^x-（k-1）a^-x（a＞0且a≠1）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)．
（1）求k的值；
（2）若f（1）＜0，試判斷y=f（x）的單調(diào)性，并求使不等式f（x²+tx）+f（4-x）＜0恒成立的t的取值范圍；
（3）若f（1）=$\frac{3}{2}$，g（x）=a^2x+a^-2x-2f（x），求g（x）在[1，+∞）上的最小值．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)可得f（0）=0，由此求得k值．
（2）由f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），f（1）＜0，求得1＞a＞0，f（x）在R上單調(diào)遞減，不等式化為f（x²+tx）＜f（x-4），即 x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，由△＜0求得t的取值范圍．
（3）f（1）=$\frac{3}{2}$，可得a=2，求出g（x）的解析式，令t=2^x-2^-x，由x≥1可得t≥$\frac{3}{2}$，可得函數(shù)y=t²-2t+2=（t-1）²+1，運(yùn)用二次函數(shù)的單調(diào)性，可得所求最小值．

解答 解：（1）∵f（x）是定義域?yàn)镽的奇函數(shù)，∴f（0）=0，
∴1-（k-1）=0，∴k=2．
（2）∵函數(shù)f（x）=a^x-a^-x（a＞0且a≠1），
∵f（1）＜0，∴a-$\frac{1}{a}$＜0，又 a＞0，
∴1＞a＞0．
由于y=a^x單調(diào)遞減，y=a^-x單調(diào)遞增，故f（x）在R上單調(diào)遞減．
不等式化為f（x²+tx）＜f（x-4）．
∴x²+tx＞x-4，即  x²+（t-1）x+4＞0 恒成立，
∴△=（t-1）²-16＜0，解得-3＜t＜5．
（3）由f（1）=$\frac{3}{2}$得a=2，
則g（x）=2^2x+2^-2x-2（2^x-2^-x），
令t=2^x-2^-x，由x≥1可得t≥$\frac{3}{2}$，
則函數(shù)y=t²-2t+2=（t-1）²+1，
且在[$\frac{3}{2}$，+∞）遞增，
可得g（x）在[1，+∞）上的最小值為（$\frac{3}{2}$-1）²+1=$\frac{5}{4}$．

點(diǎn)評 本題是對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合考查．對函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合考查的一般出題形式是解不等式的題，解題方法是先利用奇偶性進(jìn)行轉(zhuǎn)化，再利用單調(diào)性解不等式．