Question

14．在如圖所示的多面體ABCDE中，四邊形ABCF為平行四邊形，F(xiàn)為DE的中點，△BCE為等腰直角三角形，BE為斜邊，△BDE為正三角形，CD=CE=2．
（1）證明：CD⊥BE；
（2）求四面體ABDE的體積．

Answer 1

分析 （1）由△BCE為等腰直角三角形，BE為斜邊，可得CB=CE=2，BE=2$\sqrt{2}$，從而求得BD=2$\sqrt{2}$，然后利用勾股定理可得CD⊥BC，同理，可得CD⊥CE．再由線面垂直的判定可得CD⊥平面BCE，進(jìn)一步得到CD⊥BE；
（2）又（1）可得BC⊥平面DCE，由四邊形ABCF為平行四邊形，可得AF⊥平面DCE，得到AF⊥DE，再由CD=CE，F(xiàn)為DE的中點，得CF⊥DE，進(jìn)一步得到DE⊥平面ABCF．然后利用V_A-BDE=V_D-ABF+V_E-ABF=$\frac{1}{3}{S}_{△ABF}•DE$求得四面體ABDE的體積．

解答 （1）證明：∵△BCE為等腰直角三角形，BE為斜邊，∴CB=CE=2，BE=2$\sqrt{2}$．
∵△BDE為正三角形，∴BD=2$\sqrt{2}$，
在三角形BDC中，BC²+CD²=BD²，∴CD⊥BC，
同理，可得CD⊥CE．
∵BC∩CE=C，∴CD⊥平面BCE，
又BE?平面BCE，∴CD⊥BE；
（2）又（1）可得BC⊥平面DCE，
∵四邊形ABCF為平行四邊形，∴AF⊥平面DCE，則AF⊥DE，
又CD=CE，F(xiàn)為DE的中點，∴CF⊥DE，
又CF∩AF=F，∴DE⊥平面ABCF．
連接BF，則V_A-BDE=V_D-ABF+V_E-ABF=$\frac{1}{3}{S}_{△ABF}•DE$
=$\frac{1}{3}•\frac{1}{2}•2•\sqrt{2}•2\sqrt{2}=\frac{4}{3}$．
∴四面體ABDE的體積為$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查線面垂直的判定和性質(zhì)，考查了空間想象能力和思維能力，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．