【題目】已知函數(shù).

（1）證明：函數(shù)在上存在唯一的零點；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1，求的值.

【答案】（1）證明見解析；（2）

【解析】

（1）求解出導函數(shù)，分析導函數(shù)的單調性，再結合零點的存在性定理說明在上存在唯一的零點即可；

（2）根據(jù)導函數(shù)零點，判斷出的單調性，從而可確定，利用以及的單調性，可確定出之間的關系，從而的值可求.

（1）證明：∵，∴.

∵在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減，

∴函數(shù)在上單調遞增.

又，令，，

則在上單調遞減，，故.

令，則

所以函數(shù)在上存在唯一的零點.

（2）解：由（1）可知存在唯一的，使得，即（*）.

函數(shù)在上單調遞增.

∴當時，，單調遞減；當時，，單調遞增.

∴.

由（*）式得.

∴，顯然是方程的解.

又∵是單調遞減函數(shù)，方程有且僅有唯一的解，

把代入（*）式，得，∴，即所求實數(shù)的值為.

練習冊系列答案
相關習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】設函數(shù).

（1）當時，求的單調區(qū)間和極值；

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（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成二面角的正弦值；

（3）若點在線段上，且直線與平面所成角的正弦值為，求線段的長．

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（Ⅰ）求拋物線方程；

（Ⅱ）點P為準線上任意一點，AB為拋物線上過焦點的任意一條弦，設直線PA，PB，PF的斜率為k1，k2，k3，問是否存在實數(shù)λ，使得k1+k2=λk3恒成立．若存在，請求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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（1）求曲線的參數(shù)方程；

（2）直線的參數(shù)方程為(為參數(shù))，求曲線上到直線的距離最短的點的直角坐標.

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【題目】在平面直角坐標系中，直線的的參數(shù)方程為（其中為參數(shù)），以坐標原點為極點，軸的正半軸為極軸的極坐標系中，點的極坐標為，直線經過點．曲線的極坐標方程為.

（1）求直線的普通方程與曲線的直角坐標方程；

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【題目】已知直線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），以坐標原點為極點，正半軸為極軸，建立極坐標系，曲線的極坐標方程是．

（1）寫出直線的極坐標方程與曲線的直角坐標方程；

（2）若點是曲線上的動點，求到直線距離的最小值，并求出此時點坐標．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

【題目】己知函數(shù)，它的導函數(shù)為.

（1）當時，求的零點；

（2）若函數(shù)存在極小值點，求的取值范圍.

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【題目】已知函數(shù)有兩個零點，且

（1）求的取值范圍；

（2）證明：隨著的增大而減小；

（3）證明：隨著的增大而減小.

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