Question

15．雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線互相垂直，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂分別為C的左，右焦點(diǎn)，P點(diǎn)在該雙曲線的右支上且到直線x=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a的距離為3$\sqrt{2}$，若|PF₁|+|PF₂|=8，則雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為（　�。�

• A． $\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$
• B． $\frac{x^2}{8}-\frac{y^2}{8}=1$
• C． $\frac{x^2}{16}-\frac{y^2}{16}=1$
• D． 以上答案都不對

Answer 1

分析 根據(jù)雙曲線的漸近線互相垂直得到雙曲線為等軸雙曲線，結(jié)合雙曲線的定義求出|PF₂|=4-a，利用兩點(diǎn)間的距離公式進(jìn)行求解即可．

解答 解：∵雙曲線C：$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的兩條漸近線互相垂直，
∴雙曲線為等軸雙曲線，則a=b，c=$\sqrt{2}$a，
則|PF₁|-|PF₂|=2a，又|PF₁|+|PF₂|=8，
得|PF₂|=4-a≥c-a，即0＜c≤4，則$\sqrt{2}$a≤4，得a≤2$\sqrt{2}$，
設(shè)P（x，y），
∵P點(diǎn)在該雙曲線的右支上且到直線x=-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a的距離為3$\sqrt{2}$，
∴x+$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a=3$\sqrt{2}$，得x=3$\sqrt{2}$-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a，代入$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$=1得y²=x²-a²=（3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²-a²，
由|PF₂|=4-a得|PF₂|²=（4-a）²，
即（x-c）²+y²=（4-a）²，
即（3$\sqrt{2}$-$\frac{{\sqrt{2}}}{2}$a-$\sqrt{2}$a）²+=（3$\sqrt{2}$-$\frac{\sqrt{2}}{2}$a）²-a²=（4-a）²，
整理得3a²-16a+20=0得a=2或a=$\frac{10}{3}$（舍），
則雙曲線的方程為$\frac{x^2}{4}-\frac{y^2}{4}=1$，
故選：A

點(diǎn)評 本題主要考查雙曲線方程的求解，根據(jù)條件建立方程，利用兩點(diǎn)間的距離公式以及雙曲線的定義是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強(qiáng)，運(yùn)算量較大，有一定的難度．