Question

12．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，AB=2CD，∠BCD=90．，BC=CD，AE=BE，ED⊥平面ABCD．
（Ⅰ）若M是AB的中點(diǎn)，求證：平面CEM⊥平面BDE；
（Ⅱ）若N為BE的中點(diǎn)，求證：CN∥平面ADE．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由ED⊥平面ABCD，可得ED⊥AD，ED⊥BD，由AE=BE，利用三角形全等可得AD=BD．再由M是AB的中點(diǎn)，得DM⊥AB，結(jié)合已知可得四邊形BCDM是正方形，得BD⊥CM．由線面垂直的判定可得CM⊥平面BDE，從而得到平面CEM⊥平面BDE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB=2CD，取AE中點(diǎn)G，連接NG，DG，由三角形中位線定理結(jié)合已知可得NG=$\frac{1}{2}$AB，再由AB∥CD，且AB=2CD，可得四邊形CDGN為平行四邊形，由線面平行的判定可得．

解答 證明：（Ⅰ）∵ED⊥平面ABCD，∴ED⊥AD，ED⊥BD，
∵AE=BE，∴△ADE≌△BDE，則AD=BD．
連接DM，則DM⊥AB，
∵AB∥CD，∠BCD=90°，BC=CD，
∴四邊形BCDM是正方形，則BD⊥CM．
又DE⊥CM，∴CM⊥平面BDE，
∵CM?平面CEM，∴平面CEM⊥平面BDE；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，AB=2CD，取AE中點(diǎn)G，連接NG，DG，
在△EBA中，∵N為BE的中點(diǎn)，∴NG∥AB且NG=$\frac{1}{2}$AB，
又AB∥CD，且AB=2CD，∴NG∥CD，且NG=CD，
又四邊形CDGN為平行四邊形，∴CN∥DG．
又∵CN?平面ADE，DG?平面ADE，
∴CN∥平面ADE．

點(diǎn)評(píng) 本題考查直線與平面平行，平面與平面垂直的判定，考查空間想象能力和思維能力，屬中檔題．