Question

13．已知橢圓：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{^{2}}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{\sqrt{2}}{2}$，圓x²+y²-2y=0的圓心與橢圓C的上頂點(diǎn)重合，點(diǎn)P的縱坐標(biāo)為$\frac{5}{3}$．
（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）若斜率為2的直線l與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，探究：在橢圓C上是否存在一點(diǎn)Q，使得$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BQ}$，若存在，求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）由題意可知a=$\sqrt{2}$c，求得圓心與半徑，即可求得b=1，則a=$\sqrt{2}$，即可求得橢圓方程；
（2）設(shè)直線l的方程，代入橢圓方程，根據(jù)向量相等，表示出x₀=-$\frac{8}{9}$m-p，y₀=$\frac{2}{9}$m-$\frac{5}{3}$，將直線方程代入橢圓方程，由△＞0，即可求得m的取值范圍，將Q代入橢圓方程，由韋達(dá)定理，根據(jù)△₂＞0，求得m的取值范圍，由無(wú)交集，因此不存在Q，使得$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BQ}$．

解答 解：（1）由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，則a=$\sqrt{2}$c，b²=a²-c²=c²，
由x²+y²-2y=0的標(biāo)準(zhǔn)方程x²+（y-1）²=1，則b=1，c=1，a=$\sqrt{2}$，
∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程：$\frac{{x}^{2}}{2}+{y}^{2}=1$；
（2）假設(shè)存在Q，使得滿(mǎn)足$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BQ}$，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線l：y=2x+m，
則Q（x₀，y₀），P（p，$\frac{5}{3}$），則$\overrightarrow{PA}$=（x₁-p，y₁-$\frac{5}{3}$），$\overrightarrow{BQ}$=（x₀-x₂，y₀-y₂），
由$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BQ}$，則$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}-{x}_{2}={x}_{1}-p}\\{{y}_{0}-{y}_{2}={y}_{1}-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，
$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{0}={x}_{1}+{x}_{2}-p}\\{{y}_{0}={y}_{1}+{y}_{2}-\frac{5}{3}}\end{array}\right.$，則$\left\{\begin{array}{l}{y=2x+m}\\{{x}^{2}+2{y}^{2}=2}\end{array}\right.$，整理得：9x²+8mx+2m²-2=0，
則△=（8m）²-4×9×（2m²-2）=8（9-m²）＞0，解得：-3＜m＜3，①
則x₁+x₂=-$\frac{8}{9}$m，y₁+y₂=2（x₁+x₂）+2m=$\frac{2}{9}$m，
則x₀=-$\frac{8}{9}$m-p，y₀=$\frac{2}{9}$m-$\frac{5}{3}$，
由Q（x₀，y₀）在橢圓上，則x₀²+2y₀²=2，
∴（-$\frac{8}{9}$m-p）²+2（$\frac{2}{9}$m-$\frac{5}{3}$）²=2，整理得：9p²+16mp+8m²-$\frac{40}{3}$m+32=0有解，
則△₂=（16m）²-4×9（8m²-$\frac{40}{3}$m+32），
=648-32（m-$\frac{15}{2}$）²≥0，
解得：3≤m≤12，②
①②無(wú)交集，因此不存在Q，使得$\overrightarrow{PA}=\overrightarrow{BQ}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)，直線與橢圓的位置關(guān)系，考查韋達(dá)定理的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中檔題．