Question

11．命題p：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅；
命題q：函數(shù)y=（2a²-a）^x增函數(shù)．若p∨q是真命題p∧q是假命題．求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 命題p：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅，由△＜0，解得a范圍．命題q：函數(shù)y=（2a²-a）^x為增函數(shù)．可得2a²-a＞1，解得a范圍．由p∨q是真命題p∧q是假命題．可得p與q必然是一真一假．

解答 解：命題p：關(guān)于x的不等式x²+（a-1）x+a²≤0的解集為∅，由△=（a-1）²-4a²＜0，解得$a＞\frac{1}{3}$或a＜-1．
命題q：函數(shù)y=（2a²-a）^x為增函數(shù)．∴2a²-a＞1，解得a＞1或a$＜-\frac{1}{2}$．
∵p∨q是真命題p∧q是假命題．∴p與q必然是一真一假．
∴$\left\{\begin{array}{l}{a＞\frac{1}{3}或a＜-1}\\{-\frac{1}{2}≤a≤1}\end{array}\right.$，或$\left\{\begin{array}{l}{-1≤a≤\frac{1}{3}}\\{a＞1或a＜-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
解得$\frac{1}{3}＜a≤1$或$-1≤a＜-\frac{1}{2}$．
實數(shù)a的取值范圍是$\frac{1}{3}＜a≤1$或$-1≤a＜-\frac{1}{2}$．

點評 本題考查了不等式的解集與判別式的關(guān)系、函數(shù)的單調(diào)性、簡易邏輯的判定方法，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．