Question

19．已知函數(shù)f（x）=（2-a）lnx+$\frac{1}{x}$+2ax（a≤0）．
（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，求f（x）的極值；
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，討論f（x）的單調(diào)性；
（Ⅲ）若對(duì)任意的a∈（-3，-2）及x₁，x₂∈[1，3]，恒有（m+ln3）a-2ln3＞|f（x₁）-f（x₂）|成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．

Answer 1

分析 （Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$，定義域?yàn)椋?，+∞），求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)．判斷導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，推出導(dǎo)函數(shù)的單調(diào)性，然后求解極值、
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，$f（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}+2ax$的定義域?yàn)椋?，+∞），求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由f′（x）=0得極值點(diǎn)，通過(guò)（1）當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，（2）當(dāng)a=-2時(shí)，（3）當(dāng)a＜-2時(shí)，分別求解函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可．

解答 解：（Ⅰ）當(dāng)a=0時(shí)，$f（x）=2lnx+\frac{1}{x}$，定義域?yàn)椋?，+∞），
f（x）的導(dǎo)函數(shù)${f^'}（x）=\frac{2}{x}-\frac{1}{x^2}=\frac{2x-1}{x^2}$．
當(dāng)$0＜x＜\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＜0，f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是減函數(shù)；
當(dāng)$x＞\frac{1}{2}$時(shí)，f′（x）＞0，f（x）在$（\frac{1}{2}，+∞）$上是增函數(shù)．
∴當(dāng)$x=\frac{1}{2}$時(shí)，f（x）取得極小值為$f（\frac{1}{2}）=2-2ln2$，無(wú)極大值．
（Ⅱ）當(dāng)a＜0時(shí)，$f（x）=（2-a）lnx+\frac{1}{x}+2ax$的定義域?yàn)椋?，+∞），f（x）的導(dǎo)函數(shù)為${f^'}（x）=\frac{2-a}{x}-\frac{1}{x^2}+2a=\frac{{2a{x^2}+（2-a）x-1}}{x^2}=\frac{（2x-1）（ax+1）}{x^2}$．
由f′（x）=0得${x_1}=\frac{1}{2}＞0$，${x_2}=-\frac{1}{a}＞0$，${x_1}-{x_2}=\frac{1}{2}-（-\frac{1}{a}）=\frac{a+2}{2a}$．
（1）當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，f（x）在$（0，\frac{1}{2}）$上是減函數(shù)，在$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{a}）$上是增函數(shù)，在$（-\frac{1}{a}，+∞）$上是減函數(shù)；
（2）當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
（3）當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）在$（0，-\frac{1}{a}）$上是減函數(shù)，在$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}）$上是增函數(shù)，
在$（\frac{1}{2}，+∞）$上是減函數(shù)．
綜上所述，
當(dāng)a＜-2時(shí)，f（x）在$（0，-\frac{1}{a}），（\frac{1}{2}，+∞）$上是減函數(shù)，在$（-\frac{1}{a}，\frac{1}{2}）$上是增函數(shù)；
當(dāng)a=-2時(shí)，f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)-2＜a＜0時(shí)，f（x）在$（0，\frac{1}{2}），（-\frac{1}{a}，+∞）$上是減函數(shù)，在$（\frac{1}{2}，-\frac{1}{a}）$上是增函數(shù)．
（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)a∈（-∞，-2）時(shí)，f（x）在[1，3]上是減函數(shù)．
∴$|f（{x_1}）-f（{x_2}）|≤f（1）-f（3）=\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3$．
∵對(duì)于任意的x₁，x₂∈[1，3]，a∈（-∞，-2）都有|f（x₁）-f（x₂）|＜（m+ln3）a-2ln3，
∴$\frac{2}{3}-4a+（a-2）ln3＜（m+ln3）a-2ln3$對(duì)任意a＜-2恒成立，
∴$m＜-4+\frac{2}{3a}$對(duì)任意a＜-2恒成立．
當(dāng)a＜-2時(shí)，$-\frac{13}{3}＜-4+\frac{2}{3a}＜-4$，∴$m≤-\frac{13}{3}$．
∴實(shí)數(shù)m的取值范圍為$（-∞，-\frac{13}{3}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用，函數(shù)的極值以及函數(shù)的單調(diào)性的判斷以及考查分類討論思想轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用．