Question

7．已知f（x）=xlnx，g（x）=-x²+ax-3．
（1）求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值；
（2）對一切x∈（0，+∞），2f（x）≥g（x）恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出x＞0，f′（x）=lnx+1，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出求函數(shù)f（x）在（0，+∞）上的最小值．
（2）2xlnx≥-x²+ax-3恒成立，等價(jià)于$a≤x+2lnx+\frac{3}{x}$恒成立，記$h（x）=x+2lnx+\frac{3}{x}（x＞0）$，則${h}^{'}（x）=\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$，利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)能求出實(shí)數(shù)a的取值范圍．

解答 解：（1）∵f（x）=xlnx，
∴x＞0，f′（x）=lnx+1，
由f′（x）＞0，得x＞$\frac{1}{e}$，∴f（x）在$（\frac{1}{e}，+∞）$上單調(diào)遞增，
由f′（x）＜0，得0＜x＜$\frac{1}{e}$，∴f（x）在$（0，\frac{1}{e}）$上單調(diào)遞減，
∴f（x）在$x=\frac{1}{e}$處取最小值，
∴$f{（x）_{min}}=f（\frac{1}{e}）=\frac{1}{e}ln\frac{1}{e}=-\frac{1}{e}$．
（2）2xlnx≥-x²+ax-3恒成立，等價(jià)于$a≤x+2lnx+\frac{3}{x}$恒成立，
記$h（x）=x+2lnx+\frac{3}{x}（x＞0）$，
則${h}^{'}（x）=\frac{{x}^{2}+2x-3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+3）（x-1）}{{x}^{2}}$，
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，h′（x）＜0，當(dāng)x∈（1，+∞）時(shí)，h′（x）＞0，
∴h（x）在（0，1）內(nèi)單調(diào)遞減，在（1，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，
∴h（x）_min=h（1）=4，
∴實(shí)數(shù)a的取值范圍是（-∞，4]．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)值的最小值的求法，考查實(shí)數(shù)的取值范圍的求法，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力，考查轉(zhuǎn)化化歸思想、分類討論思想，是中檔題．