Question

15．如圖所示，在四棱錐S-ABCD中，AD∥BC，AD⊥AB，CD⊥平面SAD，SA=AD=2，AB=1，SB=$\sqrt{5}$，SD=2$\sqrt{2}$，M，N分別為AB，SC的中點．
（1）證明：AB∥CD；
（2）證明：平面SMC⊥平面SCD．

Answer 1

分析 （1）證明AB⊥平面SAD．CD⊥平面SAD，即可證明AB∥CD；
（2）證明：MN⊥平面SCD，即可證明平面SMC⊥平面SCD．

解答 證明：（1）由SA²+AD²=2²+2²=8=SD²，SA²+AB²=2²+1²=5=SB²，得SA⊥AB，
又AB⊥AD，AD∩SA=A，所以AB⊥平面SAD．
又CD⊥平面SAD，所以AB∥CD．
（2）取SD的中點E，連接AE，NE，如圖所示．

易知NE=$\frac{1}{2}$CD=AM，NE∥CD∥AM，所以四邊形AMNE為平行四邊形．
所以MN∥AE．
又因為CD⊥平面SAD．AE?平面SAD
所以CD⊥AE．
由（1）知△SAD為等腰直角三角形．
所以AE⊥SD．
又SD∩CD=D，所以AE⊥平面SCD．
因為MN∥AE，所以MN⊥平面SCD．
又MN?平面SMC，所以平面SMC⊥平面SCD．

點評 本題主要考查直線與平面垂直的證明，考查面面垂直，是中檔題．要求熟練掌握相應(yīng)的判定定理．