Question

2．已知函數(shù)f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx-$\frac{1}{2}$cos2x（x∈R）．
（1）求函數(shù)f（x）的最小值和最小正周期；
（2）設(shè)△ABC的內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊分別為a，b，c，且f（C）=1，B=30°，c=2$\sqrt{3}$，求△ABC的面積．

Answer 1

分析 （1）利用兩角差的正弦函數(shù)公式化簡解析式可得f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$），結(jié)合正弦函數(shù)的性質(zhì)及周期公式即可得解．
（2）由已知可得sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，可求范圍-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，進(jìn)而可求C，B，A，解得b的值，利用三角形面積公式即可計(jì)算得解．

解答 （本題滿分為13分）
解：（1）∵f（x）=$\sqrt{3}$sinx•cosx-$\frac{1}{2}$cos2x=$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2x-$\frac{1}{2}$cos2x=sin（2x-$\frac{π}{6}$）…4分
∵x∈R，∴f（x）的最小值為-1…5分
∴最小正周期T=$\frac{2π}{2}$=π…6分
（2）∵f（C）=1，
∴sin（2C-$\frac{π}{6}$）=1，
∵0＜2C＜2π，可得：-$\frac{π}{6}$＜2C-$\frac{π}{6}$＜$\frac{11π}{6}$，
∴C=$\frac{π}{3}$…8分
∵B=$\frac{π}{6}$，可得：A=$\frac{π}{2}$，
∵c=2$\sqrt{3}$，可得：b=2，…12分
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=2$\sqrt{3}$．…13分

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了兩角差的正弦函數(shù)公式，正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，周期公式，正弦定理，三角形面積公式在解三角形中的應(yīng)用，考查了計(jì)算能力和轉(zhuǎn)化思想，屬于基礎(chǔ)題．