Question

4．某隧道截面如圖，其下部形狀是矩形ABCD，上部形狀是以CD為直徑的半圓．已知隧道的橫截面面積為4+π，設(shè)半圓的半徑OC=x，隧道橫截面的周長（即矩形三邊長與圓弧長之和）為f（x）．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式，并求其定義域；
（2）問當(dāng)x等于多少時(shí)，f（x）有最小值？并求出最小值．

Answer 1

分析 （1）設(shè)OC=x則矩形ABCD面積$4+π-\frac{1}{2}π{x^2}$，然后求解f（x）=2x+2AD+πx，求出表達(dá)式以及函數(shù)的定義域．（2）利用基本不等式求解函數(shù)的最值即可．

解答 解：（1）設(shè)OC=x則矩形ABCD面積$4+π-\frac{1}{2}π{x^2}$
∴$AD=\frac{{4+π-\frac{1}{2}π{x^2}}}{2x}$
∴f（x）=2x+2AD+πx$f（x）=2x+\frac{4+π}{x}-\frac{1}{2}πx+πx$，$f（x）=\frac{4+π}{2}x+\frac{4+π}{x}$．
又AD＞0∴$4+π＞\frac{1}{2}π{x^2}$
∴$x＜\sqrt{\frac{8+2π}{π}}$
∴$f（x）=\frac{4+π}{2}x+\frac{4+π}{x}（{0＜x＜\sqrt{\frac{8+2π}{π}}}）$
定義域$（{0\;，\;\;\sqrt{\frac{8+2π}{π}}}）$
（2）函數(shù)$f（x）=\frac{4+π}{2}x+\frac{4+π}{x}$．
可得$f（x）≥2\sqrt{\frac{{{{（4+π）}^2}}}{2}}=（4+π）\sqrt{2}$．
當(dāng)且僅當(dāng)$x=\sqrt{2}$時(shí)取等號即最小值$（4+π）\sqrt{2}$．

點(diǎn)評 本題考查函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，函數(shù)的最值的求法，考查計(jì)算能力．