Question

14．已知$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow$滿(mǎn)足|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為120°，則|$\overrightarrow$|的取值范圍是（0，1）；|$\overrightarrow$|²-（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）²的最大值為$\frac{1}{12}$．

Answer 1

分析 設(shè)設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，由已知|$\overrightarrow{a}$|=1，$\overrightarrow$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為120°，可得∠ACB=120°，由正弦定理可得|$\overrightarrow$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB，從而可求|$\overrightarrow$|的取值范圍；運(yùn)用向量數(shù)量積的定義和性質(zhì)，化簡(jiǎn)可得|$\overrightarrow$|²-（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）²=|$\overrightarrow$|²-（|$\overrightarrow$|cosA）²=|$\overrightarrow$|²（sinA）²=$\frac{4}{3}$（sinAsinB）²，A+B=60°，設(shè)A=30°-α，B=30°+α，（-30°＜α＜30°），運(yùn)用兩角和差的正弦公式和正弦函數(shù)的值域，即可得到最大值．

解答 解：設(shè)$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow{a}$，$\overrightarrow{AC}$=$\overrightarrow$，
如圖所示：
則由$\overrightarrow{BC}$=$\overrightarrow{AC}$-$\overrightarrow{AB}$=$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$，
又∵$\overrightarrow$與$\overrightarrow$-$\overrightarrow{a}$的夾角為120°，
∴∠ACB=120°，
又由|$\overrightarrow{AB}$|=|$\overrightarrow{a}$|=1，0°＜B＜60°，
由正弦定理$\frac{|\overrightarrow{a}|}{sinC}$=$\frac{|\overrightarrow|}{sinB}$，
得|$\overrightarrow$|=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$sinB＜$\frac{2\sqrt{3}}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=1，
∴|$\overrightarrow$|∈（0，1）．
而|$\overrightarrow$|²-（$\overrightarrow{a}$•$\overrightarrow$）²=|$\overrightarrow$|²-（|$\overrightarrow$|cosA）²=|$\overrightarrow$|²（sinA）²=$\frac{4}{3}$（sinAsinB）²，
又A+B=60°，設(shè)A=30°-α，B=30°+α，（-30°＜α＜30°），
則sinAsinB=sin（30°-α）sin（30°+α）=sin²30°-sin²α=$\frac{1}{4}$-sin²α≤$\frac{1}{4}$，
當(dāng)sinα=0即α=0°時(shí)，sinAsinB取得最大值$\frac{1}{4}$，
即有$\frac{4}{3}$（sinAsinB）²的最大值為$\frac{4}{3}$×$\frac{1}{16}$=$\frac{1}{12}$．
故答案為：（0，1），$\frac{1}{12}$．

點(diǎn)評(píng) 本題主考查了向量的減法運(yùn)算的三角形法則，考查了三角形的正弦定理及三角函數(shù)的性質(zhì)，同時(shí)考查向量的數(shù)量積的定義和性質(zhì)，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．