7．如圖，過圓E外一點A作一條直線與半徑為2的圓E交于B，C兩點，且$AB=\frac{1}{3}AC$，作直線AF與圓E相切于點F，連接EF交BC于點D，∠EBC=30°．　
（1）求AF的長；
（2）求證：AD=3ED．

分析 （1）延長BE交圓E于點M，連接CM，利用切割線定理轉(zhuǎn)化求解AF即可．
（2）過E作EH⊥BC于H，通過△EDH～△ADF，轉(zhuǎn)化求解即可．

解答 解：（1）延長BE交圓E于點M，連接CM，則∠BCM=90°，
又BM=2BE=4，∠EBC=30°，所以$BC=2\sqrt{3}$，
又$AB=\frac{1}{3}AC$，可知$AB=\frac{1}{2}BC=\sqrt{3}$．
所以，$A{F^2}=AB•AC=\sqrt{3}•3\sqrt{3}=9$，即AF=3…（6分）
（2）證明：過E作EH⊥BC于H，則△EDH～△ADF，EH=2sin30°=1，
從而有$\frac{ED}{AD}=\frac{EH}{AF}=\frac{1}{3}$，因此AD=3ED…（10分）

點評 本題考查直線與圓的位置關(guān)系，切割線定理以及相似三角形的應(yīng)用，考查計算能力．

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：填空題

14．設(shè)f-1（x）為f（x）=$\frac{π}{6}$sinx，x∈[-$\frac{π}{2}$，$\frac{π}{2}$]的反函數(shù)，則y=f（x）+f-1（x）的值域為$[-\frac{7π}{12}，\frac{7π}{12}]$．

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15．設(shè)函數(shù)f（x）在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f′（x），如圖是函數(shù)g（x）=xf′（x）的圖象，則f（x）的極值點是（　　）
A．極大值點x=-2，極小值點x=0B．極小值點x=-2，極大值點x=0
C．極值點只有x=-2D．極值點只有x=0

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15．已知$\frac{2}{m}$+$\frac{1}{n}$=1（m＞0，n＞0），則當(dāng)mn取得最小值時，雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{m}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{n}^{2}}$=1的漸近線方程為y=$±\frac{1}{2}$x．

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2．已知f（x）=2x-ax2+bcosx在點$（\frac{π}{2}，f（\frac{π}{2}））$處的切線方程為$y=\frac{3}{4}π$．
（1）求a，b的值及f（x）在[0，π]上的單調(diào)區(qū)間；
（2）若x1，x2∈[0，π]，且x1≠x2，f（x1）=f（x2），求證$f'（\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}）＜0$．

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12．已知${（3{x^2}-\frac{1}{x}）^n}$的展開式中所有二項式系數(shù)和為64，則n=6；二項展開式中含x3的系數(shù)為-540．

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19．函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{x^2}{x-1}$的最大值是-2．

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16．正整數(shù)1260與924的最大公約數(shù)為84．

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17．若三邊長分別為3，5，a的三角形是銳角三角形，則a的取值范圍為（4，$\sqrt{34}$）．

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