Question

19．函數(shù)$f（x）={log_{\frac{1}{2}}}\frac{x^2}{x-1}$的最大值是-2．

Answer 1

分析 求出函數(shù)的定義域，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值即可．

解答 解：令$\frac{{x}^{2}}{x-1}$＞0，解得：x＞1，
故f（x）的定義域是（1，+∞），
令g（x）=$\frac{{x}^{2}}{x-1}$，x∈（1，+∞），
g′（x）=$\frac{x（x-2）}{{（x-1）}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞2，
令g′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
故g（x）在（1，2）遞減，在（2，+∞）遞增，
故f（x）在（1，2）遞增，在（2，+∞）遞減，
故f（x）_max=f（2）=-2，
故答案為：-2．

點(diǎn)評 本題考查了對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，考查函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，是一道中檔題．