Question

6．設(shè)雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的下焦點(diǎn)為F（0，-c），直線y=kx-c與圓x²+y²=a²相切于點(diǎn)M，與雙曲線的上支交于點(diǎn)N，若∠MOF=∠MON（O是坐標(biāo)原點(diǎn)），則此雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\sqrt{3}$
• B． $\sqrt{5}$
• C． $\frac{1+\sqrt{5}}{2}$
• D． $\frac{1+\sqrt{3}}{2}$

Answer 1

分析 設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為F'，連接NF'，可得NF'與OM平行，即有NF⊥NF'，由中位線定理可得|NF'|=2a，運(yùn)用雙曲線的定義，再由勾股定理和離心率公式，即可得到所求．

解答 解：設(shè)雙曲線的上焦點(diǎn)為F'，連接NF'，
由直線y=kx-c與圓x²+y²=a²相切于點(diǎn)M，
由OM⊥NF，且∠MOF=∠MON，
可得M為NF'的中點(diǎn)，由中位線定理可得NF⊥NF'，
且|NF|'=2|OM|=2a，
由雙曲線的定義可得|NF|=2a+2a=4a，
在直角三角形NFF'中，可得
（2c）²=4a²+（2a+2a）²，
即有4c²=20a²，
由c²=5a²，
即為c=$\sqrt{5}$a，
則e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的離心率的求法，注意運(yùn)用雙曲線的定義和中位線定理，以及勾股定理，考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力，屬于中檔題．