Question

2．某市為了鼓勵市民節(jié)約用電，實行“階梯式”電價，將該市每戶居民的月用電量劃分為三檔，月用電量不超過200度的部分按0.5元/度收費，超過200度但不超過400度的部分按0.8元/度收費，超過400度的部分按1.0元/度收費．
（1）求某戶居民用電費用y（單位：元）關于月用電量x（單位：度）的函數解析式；
（2）為了了解居民的用電情況，通過抽樣，獲得了今年1月份100戶居民每戶的用電量，統(tǒng)計分析后得到如圖所示的頻率分布直方圖，若這100戶居民中，今年1月份用電費用不超過260元的點80%，求a，b的值；
（3）在滿足（2）的條件下，若以這100戶居民用電量的頻率代替該月全市居民用戶用電量的概率，且同組中的數據用該組區(qū)間的中點值代替，記Y為該居民用戶1月份的用電費用，求Y的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （1）利用分段函數的性質即可得出．
（2）利用（1），結合頻率分布直方圖的性質即可得出．
（3）由題意可知X可取50，150，250，350，450，550．結合頻率分布直方圖的性質即可得出．

解答 解：（1）當0≤x≤200時，y=0.5x；
當200＜x≤400時，y=0.5×200+0.8×（x-200）=0.8x-60，
當x＞400時，y=0.5×200+0.8×200+1.0×（x-400）=x-140，
所以y與x之間的函數解析式為：y=$\left\{\begin{array}{l}{0.5x，0≤x≤200}\\{0.8x-60，200＜x≤400}\\{x-140，x＞400}\end{array}\right.$．
（2）由（1）可知：當y=260時，x=400，則P（x≤400）=0.80，
結合頻率分布直方圖可知：0.1+2×100b+0.3=0.8，100a+0.05=0.2，
∴a=0.0015，b=0.0020．
（3）由題意可知X可取50，150，250，350，450，550．
當x=50時，y=0.5×50=25，∴P（y=25）=0.1，
當x=150時，y=0.5×150=75，∴P（y=75）=0.2，
當x=250時，y=0.5×200+0.8×50=140，∴P（y=140）=0.3，
當x=350時，y=0.5×200+0.8×150=220，∴P（y=220）=0.2，
當x=450時，y=0.5×200+0.8×200+1.0×50=310，∴P（y=310）=0.15，
當x=550時，y=0.5×200×0.8×200+1.0×150=410，∴P（y=410）=0.05．
故Y的概率分布列為：

Y	25	75	140	220	310	410
P	0.1	0.2	0.3	0.2	0.15	0.05

所以隨機變量Y的數學期望
EY=25×0.1+75×0.2+140×0.3+220×0.2+310×0.15+410×0.05=170.5．

點評 本題考查了分段函數的性質、頻率分布直方圖的性質、隨機變量的分布列及其數學期望，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．