Question

13．已知函數(shù)f（x）=x³+3x（x∈R），若不等式f（2m+mt²）+f（4t）＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)t≥1恒成立，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（　�。�

• A． $（{-∞，-\sqrt{2}}）∪（{\sqrt{2}，+∞}）$
• B． $（{-∞，-\frac{{\sqrt{2}}}{2}}）$
• C． $（{-2，-\sqrt{2}}）$
• D． $（{-∞，-\sqrt{2}}）$

Answer 1

分析 根據(jù)題意，分析可得函數(shù)f（x）為奇函數(shù)且為增函數(shù)，進(jìn)而可以將原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為m＜-$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$對(duì)任意實(shí)數(shù)t≥1恒成立，由基本不等式的性質(zhì)分析可得-$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$有最小值-$\sqrt{2}$，進(jìn)而分析可得m的取值范圍．

解答 解：根據(jù)題意，函數(shù)f（x）=x³+3x，其定義域?yàn)镽，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，
有f（-x）=-（x³+3x）=-f（x），則f（x）為奇函數(shù)，
又由f′（x）=3x²+3＞0，則f（x）為增函數(shù)，
若不等式f（2m+mt²）+f（4t）＜0對(duì)任意實(shí)數(shù)t≥1恒成立，
則f（2m+mt²）＜-f（4t），即2m+mt²＜-4t對(duì)任意實(shí)數(shù)t≥1恒成立，
2m+mt²＜-4t?m＜-$\frac{4t}{{t}^{2}+2}$，即m＜-$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$，
又由t≥1，則t+$\frac{2}{t}$≥2$\sqrt{2}$，則-$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$有最小值-$\sqrt{2}$，
若m＜-$\frac{4}{t+\frac{2}{t}}$對(duì)任意實(shí)數(shù)t≥1恒成立，必有m＜-$\sqrt{2}$；
即m的取值范圍為（-∞，-$\sqrt{2}$）；
故選：D．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)奇偶性與單調(diào)性的綜合應(yīng)用，關(guān)鍵是分析判斷函數(shù)f（x）=x³+3x的奇偶性與單調(diào)性．