Question

18．已知等比數列{a_n}的前n項和為S_n，且S₄=a₅-a₁．
（1）求數列{a_n}的公比q的值；
（2）記b_n=log₂a_n+1，數列{b_n}的前n項和為T_n，若T₄=2b₅，求數列a₁的值．

Answer 1

分析 （1）對q分類討論，利用等比數列的通項公式與求和公式即可得出．
（2）由題意q取值為2，可得${b_n}={log_2}（{{2^n}{a_1}}）={log_2}{a_1}+n$，可得數列{b_n}是一個公差為1的等差數列，即可得出．

解答 解：（1）由{a_n}是等比數列，則${a_n}={a_1}{q^{n-1}}$，
由題知公比q≠1（否則與S₄=a₅-a₁矛盾），
則${S_4}=\frac{{{a_1}（{1-{q^4}}）}}{1-q}={a_1}{q^4}-{a_1}={a_1}（{{q^4}-1}）$，
所以$\frac{{（{1-{q^4}}）}}{1-q}-（{{q^4}-1}）=0$，則$（{1-{q^4}}）[{\frac{1}{1-q}+1}]=0$，
所以q⁴=1或$\frac{1}{1-q}=-1$，
解得q=-1或2；
（2）由題意q取值為2，
則${b_n}={log_2}（{{2^n}{a_1}}）={log_2}{a_1}+n$，
所以數列{b_n}是一個公差為1的等差數列，
由T₄=2b₅得T₄=4b₁+6=2（b₁+4），
解之得b₁=1，
所以b₁=log₂a₁+1=1，即a₁=1．

點評 本題考查了等差數列與等比數列的通項公式與求和公式，考查了推理能力與就你死了，屬于中檔題．