Question

已知等差數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=1，公差d＞0，且其第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)成等比數(shù)列，
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)b_n=

2

an+1an+2

，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為T_n，并證明：

1

6

≤T_n＜

1

3

．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合,數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，利用第2項(xiàng)、第5項(xiàng)、第14項(xiàng)成等比數(shù)列，得到關(guān)系式，求出公差，即可求出a_n=2n-1．
（2）化簡(jiǎn)b_n=

2

an+1•an+2

=

1

2n+1

-

1

2n+3

利用裂項(xiàng)法求和，通過T_n+1-T_n＞0，判斷數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列，即可證明

1

6

≤T_n＜

1

3

．

解答： 解：（1）設(shè)等差數(shù)列{a_n}的公差為d，
∵a_n=a₁+（n-1）d，（a₁+d）（a₁+13d）=（a₁+4d）²（d＞0）…（4分）
整理：3d²=6a₁d（d＞0），∴d=2a₁=2，∴a_n=1+（n-1）2=2n-1．
∴a_n=2n-1 （n∈N^*）…（7分）
（2）b_n=

2

an+1•an+2

=

2

(2n+3)(2n+1)

=

1

2n+1

-

1

2n+3

   …（9分）
∴b₁+b₂+…+b_n=

1

3

-

1

5

+

1

5

-

1

7

+…+

1

2n+1

-

1

2n+3

  …（10分）
=

1

3

-

1

2n+3

＜

1

3

…（12分）
∵T_n+1-T_n=b_n=

1

(2n+1)(2n+3)

＞0，數(shù)列{T_n}是遞增數(shù)列．∴T_n≥T₁=

1

6

．  …（13分）
∴

1

6

≤T_n＜

1

3

．  …（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的綜合應(yīng)用，數(shù)列與不等式的關(guān)系，考查數(shù)列求和的基本方法，難度比較大，考查分析問題解決問題的能力．