Question

14．已知在平面直角坐標(biāo)系xoy中，直線x-ky+2k-1=0與圓x²+y²=4交于A，B兩點，若在該圓上還存在一點C，使得$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$成立，則實數(shù)k的值為（　�。�

• A． 0
• B． $\frac{4}{3}$
• C． 0或$\frac{4}{3}$
• D． 0或$-\frac{4}{3}$

Answer 1

分析 由已知得四邊形OACB為菱形，對角線相互垂直，交于D，小的角為銳角且為60°，可得弦AB的長為2$\sqrt{3}$，OD=1，利用圓心到直線的距離也等于1，可得k的值．

解答 解：∵$\overrightarrow{OC}=\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}$，C是圓上一點，
∴四邊形OACB為菱形，對角線相互垂直，交于D，
∴△OAC為等邊三角形，且邊長為2，
∴OD=1，
圓心到直線的距離d=$\frac{|2k-1|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$=1，
解得：k=0或$\frac{4}{3}$
故選：C

點評 本題考查滿足條件的實數(shù)值的求法，是中檔題，解題時要認(rèn)真審題，注意圓的性質(zhì)的合理運用．