【題目】已知函數(shù).

（1）若在其定義域上單調(diào)遞減，求的取值范圍；

（2）證明：在區(qū)間恰有一個零點(diǎn).

【答案】（1）；（2）證明見解析.

【解析】

(1) ,如果單調(diào)遞減，則當(dāng)時，恒成立,可求出答案.
(2) 當(dāng)時，由于在區(qū)間單調(diào)遞減，且，，命題成立. 當(dāng)時，由于,方程在區(qū)間有唯一的實(shí)根，從而在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，可以討論得到命題的證明.

（1）由于的定義域?yàn)?/span>，且，所以如果單調(diào)遞減，則當(dāng)時，恒成立，解得，即的取值范圍為.

（2）（i）當(dāng)時，由于在區(qū)間單調(diào)遞減，且，

，所以區(qū)間恰有一個零點(diǎn)；

（ii）當(dāng)時，由于，

由，設(shè)，

對稱軸為，，且.

所以方程在區(qū)間有唯一的實(shí)根，

從而在區(qū)間單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，注意到，

所以區(qū)間的零點(diǎn)個數(shù)不超過1個.

①當(dāng)時，由于，所以區(qū)間恰有一個零點(diǎn)；

②當(dāng)時，由于，所以區(qū)間恰有一個零點(diǎn).

綜上，在區(qū)間恰有一個零點(diǎn).

練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】南充高中扎實(shí)推進(jìn)陽光體育運(yùn)動，積極引導(dǎo)學(xué)生走向操場，走進(jìn)大自然，參加體育鍛煉，每天上午第三節(jié)課后全校大課間活動時長35分鐘．現(xiàn)為了了解學(xué)生的體育鍛煉時間，采用簡單隨機(jī)抽樣法抽取了100名學(xué)生，對其平均每日參加體育鍛煉的時間（單位：分鐘）進(jìn)行調(diào)查，按平均每日體育鍛煉時間分組統(tǒng)計(jì)如下表：

分組

男生人數(shù)

2

16

19

18

5

3

女生人數(shù)

3

20

10

2

1

1

若將平均每日參加體育鍛煉的時間不低于120分鐘的學(xué)生稱為“鍛煉達(dá)人”.

（1）將頻率視為概率，估計(jì)我校7000名學(xué)生中“鍛煉達(dá)人”有多少?

（2）從這100名學(xué)生的“鍛煉達(dá)人”中按性別分層抽取5人參加某項(xiàng)體育活動.

①求男生和女生各抽取了多少人；

②若從這5人中隨機(jī)抽取2人作為組長候選人，求抽取的2人中男生和女生各1人的概率.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】給出下列四個結(jié)論：

①若在上是奇函數(shù)，則在上也是奇函數(shù)

②若不是正弦函數(shù)，則不是周期函數(shù)

③“若，則.”的否命題是“若，則.”

④若：；：，則是的充分不必要條件

其中正確結(jié)論的個數(shù)為（ ）

A.1B.2C.3D.4

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】《烏鴉喝水》是《伊索寓言》中一個寓言故事，通過講述已知烏鴉喝水的故事，告訴人們遇到困難要運(yùn)用智慧，認(rèn)真思考才能讓問題迎刃而解的道理，如圖所示，烏鴉想喝水，發(fā)現(xiàn)有一個錐形瓶，上面部分是圓柱體，下面部分是圓臺，瓶口直徑為厘米，瓶底直徑為厘米，瓶口距瓶頸為厘米，瓶頸到水位線距離和水位線到瓶底距離均為厘米，現(xiàn)將顆石子投入瓶中，發(fā)現(xiàn)水位線上移厘米，若只有當(dāng)水位線到達(dá)瓶口時烏鴉才能喝到水，則烏鴉共需要投入的石子數(shù)量至少是（ ）

A.顆B.顆C.顆D.顆

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】（本小題滿分12分）設(shè)各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列中，

（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；

（2）若，求證： ；

（3）是否存在正整數(shù)，使得對任意正整數(shù)均成立？若存在，求出的最大值，若不存在，說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】如圖，AB是半圓O的直徑，C是半圓O上除A，B外的一個動點(diǎn)，DC垂直于半圓O所在的平面，DC∥EB，DC＝EB＝1，AB＝4.

（1）證明：平面ADE⊥平面ACD；

（2）當(dāng)C點(diǎn)為半圓的中點(diǎn)時，求二面角D﹣AE﹣B的余弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】平面上到兩個定點(diǎn)的距離的積為定值的動點(diǎn)軌跡一般稱為卡西尼（cassin）卵形線，已知曲線為到定點(diǎn)的距離之積為常數(shù)4的點(diǎn)的軌跡，關(guān)于曲線的幾何性質(zhì)有下四個結(jié)論，其中錯誤的是（ ）

A.曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱B.的面積的最大值為2

C.其中的取值范圍為D.其中的取值范圍為

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）若對任意的，都有恒成立，求的最小值；

（2）設(shè)，若為曲線上的兩個不同的點(diǎn)，滿足，且，使得曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求證：.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【題目】2020年春，新型冠狀病毒在我國湖北武漢爆發(fā)并訊速蔓延，病毒傳染性強(qiáng)并嚴(yán)重危害人民生命安全，國家衛(wèi)健委果斷要求全體人民自我居家隔離，為支援湖北武漢新型冠狀病毒疫情防控工作，各地醫(yī)護(hù)人員紛紛逆行，才使得病毒蔓延得到了有效控制.某社區(qū)為保障居民的生活不受影響，由社區(qū)志愿者為其配送蔬菜、大米等生活用品，記者隨機(jī)抽查了男、女居民各100名對志愿者所買生活用品滿意度的評價(jià)，得到下面的2×2列聯(lián)表．

特別滿意

基本滿意

男

80

20

女

95

5

（1）被調(diào)查的男性居民中有5個年輕人，其中有2名對志愿者所買生活用品特別滿意，現(xiàn)在這5名年輕人中隨機(jī)抽取3人，求至多有1人特別滿意的概率．

（2）能否有99%的把握認(rèn)為男、女居民對志愿者所買生活用品的評價(jià)有差異？

附：

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