7.如圖,某段鐵路AB長為80公里,BC⊥AB,且BC=10公里,為將貨物從A地運往C地,現(xiàn)在AB上的距點B為x的點M處修一公路至點C.已知鐵路運費為每公里2元,公路運費為每公里4元.
(1)將總運費y表示為x的函數(shù).
(2)如何選點M才使總運費最。

分析 (1)鐵路AM上的運費為2(80-x),公路MC上的運費為$4\sqrt{100+{x^2}}$,然后列出總運費y表示為x的函數(shù).
(2)利用函數(shù)的導數(shù)求解函數(shù)的最值即可.

解答 解:(1)依題意,鐵路AM上的運費為2(80-x),
公路MC上的運費為$4\sqrt{100+{x^2}}$,
則由A到C的總運費為$y=2({80-x})+4\sqrt{100+{x^2}}({0≤x≤80})$.
…(6分)
(2)$y'=-2+\frac{4x}{{\sqrt{100+{x^2}}}}({0≤x≤80})$,…(8分)
令y'=0,解得$x=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$,或$x=-\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$(舍).…(10分)
當$0≤x≤\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$時,y'≤0;當$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}≤x≤80$時,y'≥0;
故當$x=\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$時,y取得最小值,
即當在距離點B為$\frac{{10\sqrt{3}}}{3}$公里時的點M處修筑公路至C時總運費最。12分)

點評 本題考查函數(shù)的實際應用,函數(shù)的導數(shù)的應用,最值的求法,考查轉化思想以及計算能力.

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