Question

17．?dāng)?shù)列{a_n}滿足a₁=1，na_n+1=（n+1）a_n+（n+1）n（n∈N⁺），
（1）令c_n=$\frac{a_n}{n}$，證明{c_n}是等差數(shù)列，并求a_n；
（2）令b_n=$\frac{1}{{\sqrt{a_n}\sqrt{{a_{n+1}}}}}$，求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和S_n．

Answer 1

分析 （1）把已知數(shù)列遞推式兩邊同時(shí)除以n（n+1），可得數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，求其通項(xiàng)公式后可得a_n；
（2）把（1）中求得的數(shù)列通項(xiàng)公式代入b_n=$\frac{1}{{\sqrt{a_n}\sqrt{{a_{n+1}}}}}$，整理后利用裂項(xiàng)相消法求數(shù)列{b_n}前n項(xiàng)和S_n．

解答 （1）證明：由na_n+1=（n+1）a_n+（n+1）n，得
$\frac{{a}_{n+1}}{n+1}-\frac{{a}_{n}}{n}=1$，又∵$\frac{{a}_{1}}{1}=1$，
∴數(shù)列{$\frac{{a}_{n}}{n}$}是以1為首項(xiàng)，以1為公差的等差數(shù)列，
則$\frac{{a}_{n}}{n}=1+（n-1）×1=n$，
∴${a_n}={n^2}$；
（2）解：∵b_n=$\frac{1}{{\sqrt{a_n}\sqrt{{a_{n+1}}}}}$=$\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，
∴${S}_{n}=1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+\frac{1}{3}-\frac{1}{4}+…+\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$=$\frac{n}{n+1}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，訓(xùn)練了裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．