Question

5．已知中心在坐標(biāo)原點(diǎn)的橢圓C，F(xiàn)₁，F(xiàn)₂ 分別為橢圓的左、右焦點(diǎn)，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為6，離心率為$\frac{{\sqrt{5}}}{3}$
（1）求橢圓C 的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）已知點(diǎn)P在橢圓C 上，且PF₁=4，求點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離．

Answer 1

分析 （1）由已知可得a，再由離心率求得c，結(jié)合隱含條件求得b，則橢圓方程可求；
（2）由題意定義結(jié)合已知求得PF₂，再由橢圓的第二定義可得點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離．

解答 解：（1）根據(jù)題意：$\left\{\begin{array}{l}{2a=6}\\{\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{5}}{3}}\end{array}\right.$，解得$a=3，c=\sqrt{5}$，
∴b²=a²-c²=4，
∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為$\frac{x^2}{9}+\frac{y^2}{4}=1$；
（2）由橢圓的定義得：PF₁+PF₂=6，可得PF₂=2，
設(shè)點(diǎn)P到右準(zhǔn)線的距離為d，根據(jù)第二定義，得$\frac{2}tpxmttz=\frac{{\sqrt{5}}}{3}$，
解得：$d=\frac{6}{5}\sqrt{5}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)，考查了橢圓定義的應(yīng)用，是基礎(chǔ)題．