已知函數(shù)，，，其中且.

（I）求函數(shù)的導函數(shù)的最小值；

（II）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間及極值；

（III）若對任意的，函數(shù)滿足，求實數(shù)的取值范圍.

 

【答案】

 

【解析】本試題主要考查了導數(shù)在研究函數(shù)中的運用。第一問中，利用，其中.因為，所以，又，利用均值不等式求解得到最小值即可，第二問中，當時，，，所以，函數(shù)的單調增區(qū)間是，；單調減區(qū)間是.從而得到極值。

第三問中，不妨設，則由得.構造函數(shù)利用導數(shù)求解最值。

解：（I），其中.

  因為，所以，又，所以，

  當且僅當時取等號，其最小值為. ……………………………4分

 （II）當時，，.

                          ………………………………………………………..6分

  的變化如下表：

0

0

 

所以，函數(shù)的單調增區(qū)間是，；單調減區(qū)間是.

                  ……………………………………………………………….8分

函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值.

                  ……………………………………………………………….10分

（III）由題意，.

不妨設，則由得.  ……………12分

令，則函數(shù)在單調遞增.

                 

在恒成立.

即在恒成立.

因為，因此，只需.

解得. 

故所求實數(shù)的取值范圍為.  

 

練習冊系列答案
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（本小題滿分14分）已知函數(shù)，，
，其中且.
（I）求函數(shù)的導函數(shù)的最小值；
（II）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間及極值；
（III）若對任意的，函數(shù)滿足，求實數(shù)
的取值范圍.

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（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，，其中且.

（I）求函數(shù)的導函數(shù)的最小值；

（II）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間及極值；

（III）若對任意的，函數(shù)滿足，求實數(shù)的取值范圍.

 

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（本小題滿分14分）已知函數(shù)，，，其中且.

（I）求函數(shù)的導函數(shù)的最小值；

（II）當時，求函數(shù)的單調區(qū)間及極值；

（III）若對任意的，函數(shù)滿足，求實數(shù)的取值范圍.

 

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