Question

5．設雙曲線$\frac{x^2}{a^2}$-$\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞0，b＞0）的右焦點為F，過點F作x軸的垂線交兩漸近線于點A，B兩點，且與雙曲線在第一象限的交點為P，設O為坐標原點，若$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+u$\overrightarrow{OB}$（λ，μ∈R），λ²+u²=$\frac{5}{8}$，則雙曲線的離心率為（　�。�

• A． $\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$
• B． $\frac{{3\sqrt{5}}}{5}$
• C． $\frac{{3\sqrt{2}}}{2}$
• D． $\frac{9}{8}$

Answer 1

分析 由方程可得漸近線，可得A，B，P的坐標，由已知向量式可得λ+μ=1，λ-μ=$\frac{c}$，解之可得λμ的值，由λ²+u²=$\frac{5}{8}$，可得a，c的關系，由離心率的定義可得．

解答 解：雙曲線的漸近線為：y=±$\frac{a}$x，設焦點F（c，0），
則當x=c時，y═±$\frac{a}$•c=±$\frac{bc}{a}$，
即A（c，$\frac{bc}{a}$），B（c，-$\frac{bc}{a}$），P（c，$\frac{^{2}}{a}$），
因為$\overrightarrow{OP}$=λ$\overrightarrow{OA}$+μ$\overrightarrow{OB}$，
所以（c，$\frac{^{2}}{a}$）=（（λ+μ）c，（λ-μ）$\frac{bc}{a}$），
所以λ+μ=1，λ-μ=$\frac{c}$，
解得：λ=$\frac{c+b}{2c}$，μ=$\frac{c-b}{2c}$，
∵λ²+u²=$\frac{5}{8}$，
∴（$\frac{c+b}{2c}$）²+（$\frac{c-b}{2c}$）²=$\frac{5}{8}$，
即$\frac{2{c}^{2}+2^{2}}{4{c}^{2}}$=$\frac{5}{8}$，
即c²=4b²．
則c²=4（c²-a²），
則3c²=4a²．
$\sqrt{3}$c=2a，
則e=$\frac{2}{\sqrt{3}}$=$\frac{{2\sqrt{3}}}{3}$，
故選：A．

點評 本題主要考查雙曲線離心率的計算，根據(jù)交點坐標，結合平面向量的數(shù)量積公式是解決本題的關鍵．