Question

3．已知函數(shù)f（x）=x²-1，g（x）=x+1．
（1）求函數(shù)F（x）=f（x）+|g（x）|在區(qū)間[-2，0]上的值域．
（2）若當(dāng)x∈R時，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）畫出函數(shù)F（x）的圖象，結(jié)合圖象求出函數(shù)的值域即可；
（2）當(dāng)x∈R時，不等式f（x）≥λg（x）恒成立，可得△=λ²+4λ+4≤0，即可求實(shí)數(shù)λ的取值范圍．

解答 解：（1）F（x）=x²-1+|x+1|=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}-x-2，x∈[-2，-1）}\\{{x}^{2}+1，x∈[-1，0]}\end{array}\right.$，
畫出函數(shù)F（x）的圖象，如圖所示：
，
結(jié)合圖象，x=-2時，F(xiàn)（x）取最大值4，
x=-$\frac{1}{2}$時，F(xiàn)（x）取最小值-$\frac{1}{4}$，
故函數(shù)的值域是[-$\frac{1}{4}$，4]；
（2）∵x²-1≥λ（x+1），x∈R恒成立，
∴x²-λx-λ-1≥0，x∈R恒成立，
∴△=λ²+4λ+4≤0，∴λ=-2．

點(diǎn)評 本題考查恒成立問題，考查函數(shù)在區(qū)間x∈[-2，0]上的最大值，考查配方法，屬于中檔題．