【題目】已知橢圓經(jīng)過點(diǎn),,過點(diǎn)的直線與橢圓交于不同的兩點(diǎn).

（1）求橢圓的方程;

（2）求的取值范圍;

（3）設(shè)直線和直線的斜率分別為和,求證:為定值.

【答案】（1）;（2）.（3）證明見詳解.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓經(jīng)過點(diǎn)的坐標(biāo)滿足橢圓方程，結(jié)合已知條件，聯(lián)立方程組即可求得；

（2）設(shè)出直線方程，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，利用韋達(dá)定理，將轉(zhuǎn)化為關(guān)于斜率的函數(shù)，根據(jù)的取值范圍，求函數(shù)的值域即可；

（2）由（2）中所求韋達(dá)定理，將和表示出來，整理化簡即可求證.

（1）因?yàn)闄E圓經(jīng)過點(diǎn)，故可得，

又因?yàn)?/span>，

聯(lián)立方程組解得，

故橢圓方程為.

（2）根據(jù)題意，直線的斜率一定存在，

故可設(shè)直線方程為，

聯(lián)立橢圓方程，

可得，

則，

解得

設(shè)坐標(biāo)為，

故可得，

故

.

又因?yàn)?/span>，故可得，

故可得.

即的取值范圍為.

（3）因?yàn)?/span>

.

故為定值.即證.

練習(xí)冊(cè)系列答案
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【題目】在中，內(nèi)角，，的對(duì)邊分別是，，，且滿足：.

（Ⅰ）求角的大小；

（Ⅱ）若，求的最大值.

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【題目】已知點(diǎn)在橢圓上，過點(diǎn)作軸于點(diǎn)

（1）求線段的中點(diǎn)的軌跡的方程

（2）設(shè)、兩點(diǎn)在（1）中軌跡上，點(diǎn)，兩直線與的斜率之積為，且（1）中軌跡上存在點(diǎn)滿足，當(dāng)面積最小時(shí)，求直線的方程．

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【題目】對(duì)于數(shù)列，定義“變換”：將數(shù)列變換成數(shù)列，其中，且，這種“變換”記作.繼續(xù)對(duì)數(shù)列進(jìn)行“變換”，得到數(shù)列，依此類推，當(dāng)?shù)玫降臄?shù)列各項(xiàng)均為時(shí)變換結(jié)束．

（1）試問和經(jīng)過不斷的“變換”能否結(jié)束？若能，請(qǐng)依次寫出經(jīng)過“變換”得到的各數(shù)列；若不能，說明理由；

（2）求經(jīng)過有限次“變換”后能夠結(jié)束的充要條件；

（3）證明：一定能經(jīng)過有限次“變換”后結(jié)束．

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【題目】已知函數(shù).

（1）若，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2）若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.

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【題目】如圖，矩形ABCD中，，，點(diǎn)F、E分別是BC、CD的中點(diǎn)，現(xiàn)沿AE將折起，使點(diǎn)D至點(diǎn)M的位置，且.

（1）證明：平面MEF；

（2）求二面角的大小.

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【題目】某房地產(chǎn)公司新建小區(qū)有A、B兩種戶型住宅，其中A戶型住宅每套面積為100平方米，B戶型住宅每套面積為80平方米，該公司準(zhǔn)備從兩種戶型住宅中各拿出12套銷售給內(nèi)部員工，表是這24套住宅每平方米的銷售價(jià)格：（單位：萬元平方米）：

房號(hào)

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

A戶型

2.6

2.7

2.8

2.8

2.9

3.2

2.9

3.1

3.4

3.3

3.4

3.5

B戶型

3.6

3.7

3.7

3.9

3.8

3.9

4.2

4.1

4.1

4.2

4.3

4.5

（1）根據(jù)表格數(shù)據(jù)，完成下列莖葉圖，并分別求出A，B兩類戶型住宅每平方米銷售價(jià)格的中位數(shù)；

A戶型

B戶型

2.

3.

4.

（2）該公司決定對(duì)上述24套住房通過抽簽方式銷售，購房者根據(jù)自己的需求只能在其中一種戶型中通過抽簽方式隨機(jī)獲取房號(hào)，每位購房者只有一次抽簽機(jī)會(huì)，小明是第一位抽簽的員工，經(jīng)測(cè)算其購買能力最多為320萬元，抽簽后所抽得住房價(jià)格在其購買能力范圍內(nèi)則確定購買，否則，將放棄此次購房資格，為了使其購房成功的概率更大，他應(yīng)該選擇哪一種戶型抽簽？

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（2）直線l與以E的短軸為直徑的圓相切，l與E交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，試判斷O與以AB為直徑的圓的位置關(guān)系，并說明理由.

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