Question

 

如圖，三棱柱中，側(cè)面底面，,

且,O為中點(diǎn)．

（Ⅰ）證明：平面；

（Ⅱ）求直線(xiàn)與平面所成角的正弦值；

（Ⅲ）在上是否存在一點(diǎn)，使得平面，若不存在，說(shuō)明理由；若存在，確定點(diǎn)的位置．

   

 

Answer 1

【答案】

 解：（Ⅰ）證明：因?yàn)?sub>，且O為AC的中點(diǎn)，

所以．             …1分

又由題意可知，平面平面，交線(xiàn)為，且平面，

 所以平面．               …4分

（Ⅱ）如圖，以O為原點(diǎn)，所在直線(xiàn)分別為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系．

由題意可知，又;

．

所以得:

則有：     

設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有

 ，令，得

 所以．            …6分

 ．          

因?yàn)橹本�(xiàn)與平面所成角和向量與所成銳角互余，所以．  …8分

（Ⅲ）設(shè)         

即，得

所以得         …10分

 令平面，得 ，           

即得

即存在這樣的點(diǎn)E，E為的中點(diǎn)．            …12分