Question

3．已知數(shù)列{a_n}的前n項和S_n=$\frac{1}{2}$n（n-1），且a_n是b_n與1的等差中項．
（1）求數(shù)列{a_n}和數(shù)列{b_n}的通項公式；
（2）若c_n=$\frac{1}{{a}_{n}（n+1）}$（n≥2），求c₂+c₃+c₄+…+c_n．

Answer 1

分析 （1）當n=1時，a₁=S₁=0，當n≥2時，S_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）（n-2），a_n=S_n-S_n-1，即可求得數(shù)列{a_n}通項公式，由2a_n=1+b_n，求得b_n=2n-3；
（2）由（1）可知：c_n=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）（n≥2），采用“裂項法”即可求得c₂+c₃+c₄+…+c_n的值．

解答 解：（1）當n=1時，a₁=S₁=0，
當n≥2時，S_n-1=$\frac{1}{2}$（n-1）（n-2），
∴a_n=S_n-S_n-1=[$\frac{1}{2}$n（n-1）]-[$\frac{1}{2}$（n-1）（n-2）]=n-1，
當n=1時，成立，
故a_n=n-1；
a_n是b_n與1的等差中項，
∴2a_n=1+b_n，
∴b_n=2n-3，
數(shù)列{a_n}通項公式a_n=n-1，數(shù)列{b_n}的通項公式b_n=2n-3；…（8分）
（2）因為c_n=$\frac{1}{{a}_{n}（n+1）}$=$\frac{1}{（n-1）（n+1）}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$）（n≥2），…（10分）
∴c₂+c₃+c₄+…+c_n．
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$）+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$）+…+$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{2}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n+1}$），
=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．
c₂+c₃+c₄+…+c_n=$\frac{3}{4}$-$\frac{2n+1}{2n（n+1）}$．…（12分）

點評 本題考查求數(shù)列通項公式的方法，考查等差數(shù)列的性質(zhì)，“裂項法”求數(shù)列的前n項和，考查計算能力，屬于中檔題．