Question

2．如圖，矩形ABCD的邊AB=8，BC=4，以CD為直徑在矩形的外部作一半圓，圓心為O，過CD上一點N作AB的垂線交半圓弧于P，交AB于Q，M是曲線PDA上一動點．
（1）設(shè)∠POC=30°，若PM=QM，求△PMQ的面積；
（2）求△PMQ面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由已知及三角函數(shù)的定義可求PN，ON的值，由于PN＜NQ，可求△PMQ邊PQ上的高為$4+2\sqrt{3}$，利用三角形面積公式即可計算得解．
（2）設(shè)∠POC=θ，$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，則PN=4sinθ，ON=4cosθ，由三角形面積公式可求S_△PMQ=8（1+sinθ+cosθ+sinθcosθ），令sinθ+cosθ=t，$t=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）∈[1，\sqrt{2}]$，可得${S_{△PMQ}}=8（1+t+\frac{{{t^2}-1}}{2}）=4{（t+1）^2}$，由二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)可求△PMQ面積的最大值．

解答 （本題滿分16分）
解：（1）在直角△OPN中，因為∠PON=30°，OP=4，
所以PN=2，$ON=2\sqrt{3}$，
因為PN＜NQ，
所以點M在線段AD上，
所以△PMQ邊PQ上的高為$4+2\sqrt{3}$，
所以${S_{△PMQ}}=\frac{1}{2}×（4+2）×（4+2\sqrt{3}）=12+6\sqrt{3}$．…（7分）
（2）設(shè)∠POC=θ，$θ∈[0，\frac{π}{2}]$，則PN=4sinθ，ON=4cosθ，
設(shè)M到PQ的距離為h，則h≤DN=4+4cosθ，
所以${S_{△PMQ}}=\frac{1}{2}×（4+4sinθ）（4+4cosθ）=8（1+sinθ+cosθ+sinθcosθ）$，
令sinθ+cosθ=t，$t=\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）∈[1，\sqrt{2}]$，
則${S_{△PMQ}}=8（1+t+\frac{{{t^2}-1}}{2}）=4{（t+1）^2}$，
當(dāng)$t=\sqrt{2}$即$θ=\frac{π}{4}$，且點M在線段AD上時，△PMQ面積取得最大值$12+8\sqrt{2}$．…（16分）

點評 本題主要考查了三角函數(shù)的定義，三角形面積公式，二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)在解三角形中的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題．