Question

14．已知函數(shù)f（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x^2}+1}$+x）-2017^-x+2，則關(guān)于x的不等式f（3x+1）+f（x）＞4的解集為（　　）

• A． $（-∞，-\frac{1}{4}）$
• B． $（-\frac{1}{4}，+∞）$
• C． （0，+∞）
• D． （-∞，0）

Answer 1

分析 可先設(shè)g（x）=2017^x+log₂₀₁₇（（$\sqrt{{x^2}+1}$+x）-2017^-x，根據(jù)要求的不等式，可以判斷g（x）的奇偶性及其單調(diào)性，容易求出g（-x）=-g（x），通過解析式可判斷其單調(diào)性，從而原不等式可變成，g（3x+1）＞g（-x），而根據(jù)g（x）的單調(diào)性即可得到關(guān)于x的一元一次不等式，解該不等式即得原不等式的解集

解答 解：設(shè)g（x）=2017^x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x^2}+1}$+x）-2017^-x，
則g（-x）=2017^-x+log₂₀₁₇（$\sqrt{{x^2}+1}$-x）-2017^x=-g（x），
由解析式易知g（x）在R上單調(diào)遞增；
∴由f（3x+1）+f（x）＞4得，g（3x+1）+2+g（x）+2＞4；
∴g（3x+1）＞-g（x），即為g（3x+1）＞g（-x），
得3x+1＞-x，
解得x＞-$\frac{1}{4}$，
∴原不等式的解集為（-$\frac{1}{4}$，+∞）．
故選：B．

點(diǎn)評(píng) 本題考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算，平方差公式，奇函數(shù)的判斷方法，根據(jù)函數(shù)導(dǎo)數(shù)符號(hào)判斷函數(shù)單調(diào)性的方法，函數(shù)單調(diào)性定義的運(yùn)用．構(gòu)造新函數(shù)g（x）是解答的關(guān)鍵．