Question

17．已知函數(shù)f（x）=x²-ax，x∈R，其中a＞0．
（1）若函數(shù)f（x）在R上的最小值是-1，求實數(shù)a的值；
（2）若存在兩個不同的點（m，n），（n，m）同時在曲線f（x）上，求實數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）利用二次函數(shù)的最值列出方程求解即可．
（2）利用點在曲線上，求出m、n、a的關系式，通過二次函數(shù)的性質求解a的范圍即可．

解答 解：（1）∵$f（x）={x^2}-ax=（x-\frac{a}{2}）-\frac{a^2}{4}$，x∈R，
∴當$x=\frac{a}{2}$時，$f{（x）_{min}}=-\frac{a^2}{4}=-1$，…（2分）
∵a＞0，∴a=2．   …（4分）
（2）∵（m，n），（n，m）同時在函數(shù)f（x）的圖象上，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{m^2}-am=n}\\{{n^2}-an=m}\end{array}}\right.$…（6分）
∴（m²-n²）-a（m-n）=n-m，…（7分）
∵m≠n，并且存在兩個不同的點（m，n），（n，m）同時在曲線f（x）上，
∴m+n-a=-1，且$m≠\frac{a-1}{2}$，
∴n=a-1-m，…（9分）
∴m²-am=a-1-m，
∴方程m²+（1-a）m+1-a=0有解，$m≠\frac{a-1}{2}$，…（11分）
∴（1-a）²-4（1-a）≥0，且${（\frac{a-1}{2}）^2}+（1-a）（\frac{a-1}{2}）+1-a≠0$
∴1-a≥4或1-a≤0，且a≠-3，1，…（13分）
∵a＞0，
∴a＞1．   …（14分）
（注：若沒有考慮$m≠\frac{a-1}{2}$，得到a≥1，扣2分）

點評 本題考查函數(shù)與方程的應用，二次函數(shù)的性質，考查轉化思想以及計算能力．