Question

6．已知函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}}&{x∈[0，2）}\\{f（x-2）}&{x∈[2，+∞）}\end{array}}$，若對(duì)于正數(shù)k_n（n∈N^*），關(guān)于x的函數(shù)g（x）=f（x）-k_nx的零點(diǎn)個(gè)數(shù)恰好為2n+1個(gè)，則$\lim_{n→+∞}$（k₁²+k₂²+k₃²+…+k_n²）=$\frac{1}{4}$．

Answer 1

分析 畫(huà)出函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}}&{x∈[0，2）}\\{f（x-2）}&{x∈[2，+∞）}\end{array}}$的圖象，若g（x）=0，則f（x-2）=k_nx，數(shù)形結(jié)合可得圓心（2n+1，0）到直線(xiàn)y=k_nx的距離為1，進(jìn)而得到答案．

解答 解：當(dāng)0≤x＜2時(shí)，（x-1）²+y²=1，（y≥0）
其圖形是以（1，0）點(diǎn)為圓心以1為半徑的上半圓，
當(dāng)x≥2時(shí)，函數(shù)f（x）=f（x-2）表示函數(shù)的周期為2，
故函數(shù)f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{\sqrt{1-{{（x-1）}^2}}}&{x∈[0，2）}\\{f（x-2）}&{x∈[2，+∞）}\end{array}}$的圖象如下：

若g（x）=0，則f（x-2）=k_nx，
由于g（x）的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為2n+1
則直線(xiàn)y=k_nx與第n+1個(gè)半圓相切，
圓心（2n+1，0）到直線(xiàn)y=k_nx的距離為1，
即$\frac{{|{{k_n}（2n+1）}|}}{{\sqrt{1+k_n^2}}}=1⇒k_n^2=\frac{1}{4}•\frac{1}{n（n+1）}=\frac{1}{4}•（{\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}}）$
有k₁²+k₂²+k₃²+…+k_n²=$\frac{n}{4（n+1）}$．
∴$\lim_{n→+∞}$（k₁²+k₂²+k₃²+…+k_n²）=$\frac{1}{4}$，
故答案為：$\frac{1}{4}$

點(diǎn)評(píng) 本題考查的知識(shí)點(diǎn)是函數(shù)的圖象，函數(shù)的零點(diǎn)，極限運(yùn)算，直線(xiàn)與圓的位置關(guān)系，難度中檔．