Question

12．已知向量$\vec a=（{-k\;，\;4}）$，$\vec b=（{k\;，\;k+3}）$，且$\overrightarrow{a}$與$\overrightarrow$的夾角為銳角，則實數(shù)k的取值范圍是（請寫成區(qū)間形式）（-2，0）∪（0，6）．

Answer 1

分析 根據(jù)$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為銳角，從而有$\overrightarrow{a}•\overrightarrow＞0$，并且$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不共線，這樣即可得出$\left\{\begin{array}{l}{-{k}^{2}+4k+12＞0}\\{-k（k+3）-4k≠0}\end{array}\right.$，解該不等式組，即可得出k的取值范圍．

解答 解：$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$夾角為銳角；
∴$0＜cos＜\overrightarrow{a}，\overrightarrow＞＜1$；
∴$\overrightarrow{a}•\overrightarrow＞0$，且$\overrightarrow{a}，\overrightarrow$不同向；
∵$\overrightarrow{a}•\overrightarrow=-{k}^{2}+4k+12$；
∴-k²+4k+12＞0且-k（k+3）-4k≠0；
解得-2＜k＜0，或0＜k＜6；
∴k的取值范圍為（-2，0）∪（0，6）．
故答案為：（-2，0）∪（0，6）．

點評 考查向量夾角的概念，向量夾角的余弦公式，數(shù)量積的坐標運算，以及向量平行時的坐標關系．