Question

4．在數(shù)列{a_n}中，若a_n²-a_n-1²=p（n≥2，n∈N^*，p為常數(shù)），則稱{a_n}為“等方差數(shù)列”．下列是對“等方差數(shù)列”的判斷：
①若{a_n}是等方差數(shù)列，則{a_n²}是等差數(shù)列；
②若數(shù)列{a_n}是等方差數(shù)列，則數(shù)列{a_n²}是等方差數(shù)列；
③{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列；
④若{a_n}是等方差數(shù)列，則{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）也是等方差數(shù)列．
其中正確命題的個數(shù)為（　　）

• A． 4
• B． 3
• C． 2
• D． 1

Answer 1

分析 根據(jù)“等方差數(shù)列”的定義，我們逐一判斷可得答案．

解答 解：∵{a_n}是等方差數(shù)列，∴a_n²-a_n-1²=p（p為常數(shù)）得到{a_n²}為首項(xiàng)是a₁²，公差為p的等差數(shù)列；
∴{a_n²}是等差數(shù)列，故①正確，②不正確；
數(shù)列{（-1）ⁿ}中，a_n²-a_n-1²=[（-1）ⁿ]²-[（-1）^n-1]²=0，
∴{（-1）ⁿ}是等方差數(shù)列；故③正確；
數(shù)列{a_n}中的項(xiàng)列舉出來是，a₁，a₂，…，a_k，…，a_2k，…
數(shù)列{a_kn}中的項(xiàng)列舉出來是，a_k，a_2k，…，a_3k，…，
∵（a_k+1²-a_k²）=（a_k+2²-a_k+1²）=（a_k+3²-a_k+2²）=…=（a_2k²-a_2k-1²）=p
∴（a_k+1²-a_k²）+（a_k+2²-a_k+1²）+（a_k+3²-a_k+2²）+…+（a_2k²-a_2k-1²）=kp
∴（a_kn+1²-a_kn²）=kp
∴{a_kn}（k∈N^*，k為常數(shù)）是等方差數(shù)列；故④正確．
故選：B．

點(diǎn)評 此題考查學(xué)生靈活運(yùn)用等差數(shù)列的性質(zhì)及新定義等方差數(shù)列化簡求值，是一道中檔題．