Question

18．在△ABC中，內角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，已知a²-a-2b-2c=0且a+2b-2c+3=0．則△ABC中最大角的度數是120°．

Answer 1

分析 根據條件可得b=$\frac{（a-3）（a+1）}{4}$，c=$\frac{{a}^{2}+3}{4}$，顯然c＞b，假設c=$\frac{{a}^{2}+3}{4}$＞a，解得 a＜1或a＞3，剛好符合，故最大邊為c，由余弦定理求得cosC 的值，即可得到C 的值．

解答 解：把a²-a-2b-2c=0和a+2b-2c+3=0聯立可得，b=$\frac{（a-3）（a+1）}{4}$，c=$\frac{{a}^{2}+3}{4}$，顯然c＞b．
比較c與a的大�。�
因為b=$\frac{（a-3）（a+1）}{4}$＞0，解得a＞3，（a＜-1的情況很明顯為負數舍棄了）
假設c=$\frac{{a}^{2}+3}{4}$＞a，解得 a＜1或a＞3，剛好符合，
所以c＞a，所以最大邊為c．
由余弦定理可得 c²=a²+b²-2ab•cosC，
即 （$\frac{{a}^{2}+3}{4}$）²=a²+[$\frac{（a-3）（a+1）}{4}$]²-2a$\frac{（a-3）（a+1）}{4}$cosC，
解得cosC=-$\frac{1}{2}$，
∴C=120°，
故答案為：120°．

點評 本題主要考查余弦定理的應用，根據三角函數的值求角，判斷最大邊為c，是解題的關鍵，屬于中檔題．