Question

9．已知定點(diǎn)M（2，0），若過(guò)點(diǎn)M的直線l（斜率不為零）與橢圓$\frac{{x}^{2}}{3}$+y²=1交于不同的兩點(diǎn)E，F(xiàn)（E在點(diǎn)M，F(xiàn)之間），記λ=$\frac{{S}_{△OME}}{{S}_{△OMF}}$，求λ的取值范圍．

Answer 1

分析 如圖所示，設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．（不妨設(shè)y₁，y₂＞0）．直線l的方程為：my+2=x．與橢圓方程聯(lián)立化為：（m²+3）y²+4my+1=0，△＞0，λ=$\frac{{S}_{△OME}}{{S}_{△OMF}}$=$\frac{|ME|}{|MF|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$＜1，利用$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+2+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=λ+2+$\frac{1}{λ}$，進(jìn)而得出．

解答 解：如圖所示，
設(shè)E（x₁，y₁），F(xiàn)（x₂，y₂）．（不妨設(shè)y₁，y₂＞0）．
直線l的方程為：my+2=x．
聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{my+2=x}\\{{x}^{2}+3{y}^{2}=3}\end{array}\right.$，化為：（m²+3）y²+4my+1=0，
△=16m²-4（m²+3）=12m²-12＞0，解得m＞1或m＜-1．
∴y₁+y₂=-$\frac{4m}{{m}^{2}+3}$，y₁•y₂=$\frac{1}{{m}^{2}+3}$，
設(shè)原點(diǎn)O到直線l的距離為d．
∴λ=$\frac{{S}_{△OME}}{{S}_{△OMF}}$=$\frac{\frac{1}{2}d|ME|}{\frac{1}{2}d|MF|}$=$\frac{|ME|}{|MF|}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$＜1，
∴$\frac{（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}}{{y}_{1}{y}_{2}}$=$\frac{（-\frac{4m}{{m}^{2}+3}）^{2}}{\frac{1}{{m}^{2}+3}}$=$\frac{16{m}^{2}}{{m}^{2}+3}$=$\frac{{y}_{1}}{{y}_{2}}$+2+$\frac{{y}_{2}}{{y}_{1}}$=λ+2+$\frac{1}{λ}$，
∵$\frac{16{m}^{2}}{{m}^{2}+3}$=$\frac{16}{1+\frac{3}{{m}^{2}}}$∈（4，16），
∴4＜λ+2+$\frac{1}{λ}$＜16，又λ＜1，
解得：$7-4\sqrt{3}$＜λ＜1．
∴λ的取值范圍是（$7-4\sqrt{3}$，1）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程及其性質(zhì)、直線與橢圓相交問(wèn)題、一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系、不等式的解法與性質(zhì)、三角形面積計(jì)算公式，考查了推理能力與計(jì)算能力，屬于難題．