Question

19．已知函數(shù)f（x）=（x-1）e^x+ax²有兩個零點
（Ⅰ）當(dāng)a=1時，求f（x）的最小值；
（Ⅱ）求a的取值范圍；
（Ⅲ）設(shè)x₁，x₂是f（x）的兩個零點，證明：x₁+x₂＜0．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出函數(shù)f（x）的導(dǎo)數(shù)，解關(guān)于導(dǎo)函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，從而求出函數(shù)的最小值即可；
（Ⅱ）求出f'（x）=xe^x+2ax=x（e^x+2a），通過（i）當(dāng)a＞0時，判斷函數(shù)的單調(diào)性，判斷零點個數(shù)；（ii）若a=0，判斷f（x）只有一個零點．（iii）若a＜0，利用單調(diào)性判斷零點個數(shù)即可．
（Ⅲ）不妨設(shè)x₁＜x₂．推出x₁＜-x₂．利用函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，證明f（-x₂）＜0．令g（x）=（-x-1）e^-x+（1-x）e^x，x∈（0，+∞）．利用g'（x）=-x（e^-x+e^x）＜0，轉(zhuǎn)化證明即可．

解答 解：（Ⅰ）a=1時，f（x）=（x-1）e^x+x²，
f′（x）=xe^x+2x=x（e^x+1），
令f′（x）＞0，解得：x＞0，令f′（x）＜0，解得：x＜0，
故函數(shù)f（x）在（-∞，0）遞減，在（0，+∞）遞增；
故f（x）的最小值是f（0）=-1；
（Ⅱ）f'（x）=xe^x+2ax=x（e^x+2a），
（i）當(dāng)a＞0時，
函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，在（0，+∞）單調(diào)遞增．                 
∵f（0）=-1＜0，f（2）=e²+4a＞0，
取實數(shù)b滿足b＜-2且b＜lna，
則f（b）＞a（b-1）+ab²=a（b²+b-1）＞a（4-2-1）＞0，
所以f（x）有兩個零點．                                          
（ii）若a=0，則f（x）=（x-1）e^x，故f（x）只有一個零點，
（iii）若a＜0，當(dāng)a≥-$\frac{1}{2}$，則f（x）在（0，+∞）單調(diào)遞增，
又當(dāng)x≤0時，f（x）＜0，故f（x）不存在兩個零點；
當(dāng)a＜-$\frac{1}{2}$，則函數(shù)在（ln（-2a），+∞）單調(diào)遞增，在（0，ln（-2a））單調(diào)遞減；
又當(dāng)x≤1時，f（x）＜0，故不存在兩個零點；                                
綜上所述，a的取值范圍是（0，+∞）．                            
證明：（Ⅲ）不妨設(shè)x₁＜x₂．
由（Ⅱ）知x₁∈（-∞，0），x₂∈（0，+∞），-x₂∈（-∞，0），
則x₁+x₂＜0等價于x₁＜-x₂．
因為函數(shù)f（x）在（-∞，0）單調(diào)遞減，
所以x₁＜-x₂等價于f（x₁）＞f（-x₂），即證明f（-x₂）＜0．
由f（x2）=（x₂-1）e^x₂+a${{x}_{2}}^{2}$=0，得a${{x}_{2}}^{2}$=（1-x₂）e^x₂，
f（-x₂）=（-x₂-1）e^-x₂+a${{x}_{2}}^{2}$=（-x₂-1）e^-x₂+（1-x₂）e^x₂，
令g（x）=（-x-1）e^-x+（1-x）e^x，x∈（0，+∞），
g'（x）=-x（e^-x+e^x）＜0，g（x）在（0，+∞）單調(diào)遞減，
又g（0）=0，所以g（x）＜0，
所以f（-x₂）＜0，即原命題成立．

點評 本題考查函數(shù)的極值，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的零點個數(shù)的問題，考查分類討論思想以及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用，考查計算能力．