Question

8．以拋物線y²=8x的焦點為圓心，以雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的虛半軸長b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切，則當$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$取得最小值時，雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

Answer 1

分析 利用以拋物線y²=8x的焦點為圓心，以雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的虛半軸長b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切，求出a²+b²=4，再利用基本不等式，得出當且僅當a=2b時，$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$取得最小值，即可求出雙曲線的離心率．

解答 解：拋物線y²=8x的焦點為（2，0），雙曲線的一條漸近線方程為bx+ay=0，
∵以拋物線y²=8x的焦點為圓心，以雙曲線$\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$
的虛半軸長b為半徑的圓與該雙曲線的漸近線相切，
∴$\frac{2b}{\sqrt{^{2}+{a}^{2}}}$=b，∴a²+b²=4，
∴$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$=$\frac{1}{4}$（$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$）（a²+b²）=$\frac{1}{4}$（5+$\frac{4^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{a}^{2}}{^{2}}$）≥$\frac{1}{4}$（5+4）=$\frac{9}{4}$，
當且僅當a=$\sqrt{2}$b時，$\frac{4}{a^2}+\frac{1}{b^2}$取得最小值，∴c=$\sqrt{3}$b，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}b}{\sqrt{2}b}$=$\frac{\sqrt{6}}{2}$．
故答案為$\frac{\sqrt{6}}{2}$．

點評 本題考查拋物線的性質(zhì)，考查直線與圓的位置關(guān)系，考查基本不等式的運用，屬于中檔題．