Question

14．已知函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x＜0時，f（x）=-x²+x，若不等式f（x）-x≤2log_ax（a＞0且a≠1）對?x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，則實數(shù)a的取值范圍是（　　）

• A． （0，$\frac{1}{4}$]
• B． [$\frac{1}{4}$，1）
• C． （0，$\frac{1}{2}$]
• D． [$\frac{1}{4}$，$\frac{1}{2}$]∪（1，+∞）

Answer 1

分析 先求出f（x）在x＞0的解析式，不等式f（x）-x≤2log_ax（a＞0，a≠1）對?x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，轉化為log_a $\sqrt{a}$≤log_a $\frac{1}{2}$，分類討論即可．

解答 解：函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，當x＜0，f（x）=-x²+x
∴f（-x）=-f（x），
設x＞0，則-x＜0，
∴f（-x）=-x²-x，
∴f（x）=x²+x，
∵不等式f（x）-x≤2log_ax（a＞0，a≠1）對?x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，
∴x²+x-x≤2log_ax（a＞0，a≠1）對?x∈（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}$]恒成立，
∴x²≤log_ax²，
∴（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²≤log_a（$\frac{\sqrt{2}}{2}$）²，
∴l(xiāng)og_a$\sqrt{a}$=$\frac{1}{2}$≤log_a$\frac{1}{2}$，
當a＞1時，$\sqrt{a}$≤$\frac{1}{2}$，解得a≤$\frac{1}{4}$，此時無解，
當0＜a＜1時，$\sqrt{a}$≥$\frac{1}{2}$，解得a≥$\frac{1}{4}$，此時$\frac{1}{4}$≤a＜1，
綜上所述a的取值范圍為[$\frac{1}{4}$，1）．
故選：B．

點評 本題是恒成立問題，通過研究函數(shù)的單調性，借助于最值求出參數(shù)的范圍．考查轉化思想以及計算能力．