Question

8．已知函數(shù)$f（x）=cos（2ωx-\frac{π}{3}）-2{cos^2}$ωx+2的圖象的對(duì)稱(chēng)中心到對(duì)稱(chēng)軸的最短距離為$\frac{π}{4}$．
（1）求ω的值和函數(shù)f（x）的圖象的對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)軸方程．
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$上的值域．

Answer 1

分析 （1）利用二倍角和兩角和與差以及輔助角公式基本公式將函數(shù)化為y=Asin（ωx+φ）的形式，對(duì)稱(chēng)中心到對(duì)稱(chēng)軸的最短距離為$\frac{π}{4}$．可得周期T=π，根據(jù)周期公式求ω的值即可，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解對(duì)稱(chēng)中心、對(duì)稱(chēng)軸方程；
（2）x在區(qū)間$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$上時(shí)，求出內(nèi)層函數(shù)的取值范圍，結(jié)合三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，求出f（x）的取值最大和最小值，即得到f（x）的值域．

解答 解：（1）函數(shù)$f（x）=cos（2ωx-\frac{π}{3}）-2{cos^2}$ωx+2
化簡(jiǎn)可得：$f（x）=\frac{1}{2}cos2ωx+\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-cos2ωx+1=sin（2ωx-\frac{π}{6}）+1$，
∵對(duì)稱(chēng)中心到對(duì)稱(chēng)軸的最短距離為$\frac{π}{4}$．
∴周期π．
故得ω=1；
∴f（x）=sin（2x-$\frac{π}{6}$）+1．
由2x-$\frac{π}{6}$=$kπ+\frac{π}{2}$，（k∈Z）得：x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{3}$
∴函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)軸方程為x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{3}$（k∈Z）
函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心橫坐標(biāo)2x-$\frac{π}{6}$=kπ，（k∈Z），得x=$\frac{1}{2}kπ+\frac{π}{12}$
∴函數(shù)的對(duì)稱(chēng)中心坐標(biāo)為$（{\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}，1}）$（k∈Z）
（2）∵x∈$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$上時(shí)，
2x-$\frac{π}{6}$∈[$-\frac{π}{3}$，$\frac{5π}{6}$]，
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$-\frac{π}{3}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最小值為$-\frac{\sqrt{3}}{2}+1$．
當(dāng)2x-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為2．
∴函數(shù)f（x）在區(qū)間$[{-\frac{π}{12}，\frac{π}{2}}]$上的值域?yàn)?[{-\frac{{\sqrt{3}}}{2}+1，2}]$．

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查對(duì)三角函數(shù)的化簡(jiǎn)能力和三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)的運(yùn)用，利用三角函數(shù)公式將函數(shù)進(jìn)行化簡(jiǎn)是解決本題的關(guān)鍵．屬于中檔題．