Question

19．在等比數(shù)列{a_n}中，${a_3}=\frac{3}{2}，{S_3}=\frac{9}{2}$．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)${b_n}={log_2}\frac{6}{{{a_{2n+1}}}}$，且{b_n}為遞增數(shù)列，若${c_n}=\frac{1}{{{b_n}^2}}$，求證：${c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}＜\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）討論q=1，q≠1，由等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和求和公式，解方程即可得到q，和a₁，進(jìn)而得到通項(xiàng)公式；
（2）由對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，求得b_n=2n，化c_n≤$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n-1}$-$\frac{1}{n}$），再由數(shù)列的求和方法：裂項(xiàng)相消求和，以及不等式的性質(zhì)，即可得證．

解答 解：（1）∵${a_3}=\frac{3}{2}，{S_3}=\frac{9}{2}$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{S_3}-{a_3}={a_1}+{a_2}={a_1}（{1+q}）=3}\\{{a_3}={a_1}•q=\frac{3}{2}}\end{array}}\right.⇒\left\{{\begin{array}{l}{q=1}\\{{a_1}=\frac{3}{2}}\end{array}或\left\{{\begin{array}{l}{q=-\frac{1}{2}}\\{{a_1}=6}\end{array}}\right.}\right.$，
∴${a_n}=\frac{3}{2}或{a_n}=6•{（{-\frac{1}{2}}）^{n-1}}$． 
（2）證明：由題意知${b_n}={log_2}\frac{6}{{{a_{2n+1}}}}={log_2}\frac{6}{{6•{{（{-\frac{1}{2}}）}^{2n}}}}={log_2}{2^{2n}}=2n$，
∴${c_n}=\frac{1}{{{b_n}^2}}=\frac{1}{{4{n^2}}}＜\frac{1}{4n（n-1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}）$，
∴${c_1}+{c_2}+{c_3}+…+{c_n}=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{2}+\frac{1}{2}-\frac{1}{3}+…+\frac{1}{n-1}-\frac{1}{n}}）=\frac{1}{4}+\frac{1}{4}（{1-\frac{1}{n}}）=\frac{1}{2}-\frac{1}{4n}＜\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評 本題考查了等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式，考查了分類討論方法、和不等式的證明，注意運(yùn)用裂項(xiàng)相消求和和不等式的性質(zhì)，考查推理能力與計算能力，屬于中檔題．