Question

9．底面為菱形的直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分別為棱A₁B₁、A₁D₁的中點(diǎn)．
（Ⅰ）在圖中作一個(gè)平面α，使得BD?α，且平面AEF∥α，（不必給出證明過(guò)程，只要求作出α與直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面．）
（II）若AB=AA₁=2，∠BAD=60°，求平面AEF與平面α的距離d．

Answer 1

分析 （Ⅰ）取B₁C₁的中點(diǎn)H，C₁D₁的中點(diǎn)G，平面BHGD就是所求平面α．
（Ⅱ）取BC中點(diǎn)M，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DM為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法能求出平面AEF與平面α的距離．

解答 解：（Ⅰ）取B₁C₁的中點(diǎn)H，C₁D₁的中點(diǎn)G，連結(jié)BH、GH、DH，
則平面BHGD就是所求平面α，
α與直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁的截面為平面BHGD．
（Ⅱ）∵菱形的直棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AB=AA₁=2，∠BAD=60°，
∴取BC中點(diǎn)M，以D為原點(diǎn)，DA為x軸，DM為y軸，DD₁為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
A（2，0，0），D（0，0，0），B（1，$\sqrt{3}$，0），H（0，$\sqrt{3}$，2），
$\overrightarrow{DA}$=（2，0，0），$\overrightarrow{DB}$=（1，$\sqrt{3}$，0），$\overrightarrow{DH}$=（0，$\sqrt{3}$，2），
設(shè)平面α（即平面BHGD）的法向量$\overrightarrow{n}$=（x，y，z），
則$\left\{\begin{array}{l}{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DB}=x+\sqrt{3}y=0}\\{\overrightarrow{n}•\overrightarrow{DH}=\sqrt{3}y+2z=0}\end{array}\right.$，取y=2，得$\overrightarrow{n}$=（-2$\sqrt{3}$，2，-$\sqrt{3}$），
∴平面AEF與平面α的距離d=$\frac{|\overrightarrow{DA}•\overrightarrow{n}|}{|\overrightarrow{n}|}$=$\frac{4\sqrt{3}}{\sqrt{12+4+3}}$=$\frac{4\sqrt{57}}{19}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查滿足面面平行的平面的作法，考查兩平面間的距離的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．