Question

已知數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=a，其前n和為S_n，且滿足S_n+1+S_n=3（n+1）²（n∈N^*）．
（1）用a表示a₂的值；
（2）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（3）對任意的n∈N^*，a_n+1＞a_n，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列遞推式

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,不等式的解法及應(yīng)用

分析：（1）直接在數(shù)列遞推式中取n=1，即可得到a₂=12-2a₁，代入首項(xiàng)后得答案；
（2）在數(shù)列遞推式中取n=n-1得另一遞推式，作差后得到從第二項(xiàng)開始，數(shù)列的偶數(shù)項(xiàng)和奇數(shù)項(xiàng)均構(gòu)成公差為6的等差數(shù)列，則數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可求；
（3）由a₂＞a₁求得a的范圍，再由a_n+1＞a_n分n為偶數(shù)和奇數(shù)求得a的范圍，取交集后得答案．

解答： 解析：（1）由S_n+1+S_n=3（n+1）²，取n=1，得a₁+a₂+a₁=12，
∴a₂=12-2a₁，
又a₁=a，
∴a₂=12-2a；
（2）由條件S_n+1+S_n=3（n+1）²，得Sn+Sn-1=3n2(n≥2)，
兩式相減得a_n+1+a_n=6n+3（n≥2），
故a_n+2+a_n+1=6n+9，
兩式再相減得a_n+2-a_n=6（n≥2），
∴a₂，a₄，a₆，…構(gòu)成以a₂為首項(xiàng)，公差為6的等差數(shù)列；
a₃，a₅，a₇，…構(gòu)成以a₃為首項(xiàng)，公差為6的等差數(shù)列．
由（1）得a_2n=6n+6-2a；
由條件S_n+1+S_n=3（n+1）²，取n=2得a₁+a₂+a₃+a₁+a₂=27，得a₃=3+2a，
從而a_2n+1=6n-3+2a，
∴an=

a，n=1 3n+(6-2a)(-1)n，n≥2

；
（3）對任意的n∈N^*，a_n+1＞a_n，
當(dāng)n=1時(shí)，由a₂＞a₁，有3×2+（6-2a）＞a，得a＜4  ①；
當(dāng)n≥2時(shí)，由a_n+1＞a_n，有
3（n+1）+（6-2a）•（-1）^n-1＞3n+（6-2a）•（-1）^n-2，即
3+（6-2a）•（-1）^n-1＞（6-2a）•（-1）^n-2．
若n為偶數(shù)，則3-（6-2a）＞6-2a，得a＞

9

4

  ②；
若n為奇數(shù)，則3+（6-2a）＞-（6-2a），得a＜

15

4

  ③．
由①、②、③得

9

4

＜a＜

15

4

．

點(diǎn)評：本題考查了數(shù)列遞推式，考查了等差關(guān)系的確定，考查了數(shù)列不等式的解法，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想方法，是壓軸題．