Question

16．己知a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx，如圖，若三棱錐P-ABC的最長的棱PA=a，且PB⊥BA，PC⊥AC，則此三棱錐的外接球的體積為（　�。�

• A． $\frac{16π}{3}$
• B． $\frac{4π}{3}$
• C． π
• D． $\frac{π}{3}$

Answer 1

分析 根據(jù)已知可得三棱錐的外接球的直徑為2，進而求出球半徑，代入球的體積公式，可得答案．

解答 解：由a=${∫}_{0}^{π}$（sinx-1+2cos²$\frac{x}{2}$）dx=${∫}_{0}^{π}$（sinx+cosx）dx=（sinx-cosx）|${\;}_{0}^{π}$=2，
∴PA=2，
∵PB⊥BA，PC⊥AC，
∴三棱錐的外接球的球心為PA的中點，三棱錐的外接球的半徑為1，
∴三棱錐的外接球的體積為$\frac{4}{3}$π．
故選：B．

點評 本題考查的知識點是球的體積與表面積，根據(jù)已知得到球的半徑，是解答的關鍵．