Question

13．已知在四棱錐P-ABCD中，PA丄底面ABCD，底面ABCD是正方形，PA=AB=2，在該四棱錐內(nèi)部或表面任取一點O，則三棱錐O-PAB的體積不小于$\frac{2}{3}$的概率為（　�。�

• A． $\frac{1}{3}$
• B． $\frac{5}{16}$
• C． $\frac{4}{15}$
• D． $\frac{3}{14}$

Answer 1

分析 由題意畫出圖形，取AD、BC、PC、PD的中點分別為E、F、G、H，可知當點O在幾何體CDEFGH內(nèi)部或表面上時，V_{三棱錐O-PAB}≥$\frac{2}{3}$，求出多面體CDEFGH的體積，利用對應的體積比值求出概率．

解答 解：如圖，∵PA丄底面ABCD，底面ABCD是正方形，
∴AD⊥平面PAB，AB⊥平面PAD，
取AD、BC、PC、PD的中點分別為E、F、G、H，
當點O在幾何體CDEFGH內(nèi)部或表面上時，V_{三棱錐O-PAB}≥$\frac{2}{3}$．
在幾何體CDEFGH中，連接GD、GE，
則V_{多面體CDEFGH}=V_{四棱錐G-CDEF}+V_{三棱錐G-DEH}=$\frac{1}{3}×2×1×1+\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×1×1$=$\frac{5}{6}$，
又V_{四棱錐P-ABCD}=$\frac{1}{3}×2×2×2$=$\frac{8}{3}$，
則所求的概率為P=$\frac{\frac{5}{6}}{\frac{8}{3}}=\frac{5}{16}$．
故選：B．

點評 本題考查幾何概型，考查空間幾何體體積的計算，考查空間想象能力和思維能力，訓練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．