Question

10．已知函數f（x）=alnx-x（a＞0）．
（1）當a=2時，求函數f（x）在x=1處的切線方程；
（2）若對任意x₁，x₂∈（0，$\frac{a}{4}$]，不等式k|f（x₁）-f（x₂）|≥3|x₁-x₂|恒成立，求實數k的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f（1），f′（1）的值，求出切線方程即可；
（2）問題轉化為$\frac{3}{k}$≤|$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$|在（0，$\frac{a}{4}$]恒成立，求出f′（x），根據f′（x）的單調性求出f′（x）的最小值，得到關于k的不等式，解出即可．

解答 解：（1）a=2時，f（x）=2lnx-x，f（1）=-1，
f′（x）=$\frac{2}{x}$-1，f′（1）=1，
故切線方程是：y+1=x-1，
即x-y-2=0；
（2）顯然k＞0，
由題意得：$\frac{3}{k}$≤|$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$|在（0，$\frac{a}{4}$]恒成立，
由f（x）=alnx-x，則f′（x）=$\frac{a}{x}$-1，由a＞0，
故f′（x）在（0，$\frac{a}{4}$]遞減，
f′（x）_min=f′（$\frac{a}{4}$）=3，
故$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$≥3，即|$\frac{f{（x}_{1}）-f{（x}_{2}）}{{x}_{1}{-x}_{2}}$|≥3，
故$\frac{3}{k}$≤3，解得：k≥1．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的應用以及轉化思想，是一道中檔題．